Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31045 / 19251
↖ ↑ ↗
← N 59.391975°
W  9.464722°		 ← 311.02 m → N 59.391975°
W  9.459228°		 →
↑
311.03 m
↓
↑
311.03 m
↓
N 59.389178°
W  9.464722°		 ← 311.05 m →
96 742 m²		 N 59.389178°
W  9.459228°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19251 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473716735839844 y=0.293754577636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473716735839844 × 216)
    floor (0.473716735839844 × 65536)
    floor (31045.5)     		tx = 31045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293754577636719 × 216)
    floor (0.293754577636719 × 65536)
    floor (19251.5)     		ty = 19251
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31045 / 19251 ti = "16/31045/19251"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31045/19251.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31045 ÷ 216
    31045 ÷ 65536     		x = 0.473709106445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19251 ÷ 216
    19251 ÷ 65536     		y = 0.293746948242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473709106445312 × 2 - 1) × π
    -0.052581787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16519056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293746948242188 × 2 - 1) × π
    0.412506103515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.2959261443286
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16519056} λ = -0.16519056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2959261443286))-π/2
    2×atan(3.65437888964866)-π/2
    2×1.30369092380988-π/2
    2.60738184761976-1.57079632675     		φ = 1.03658552
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16519056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.464722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03658552 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.391975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31045 KachelY 19251 -0.16519056 1.03658552 -9.464722 59.391975
    Oben rechts KachelX + 1 31046 KachelY 19251 -0.16509468 1.03658552 -9.459228 59.391975
    Unten links KachelX 31045 KachelY + 1 19252 -0.16519056 1.03653670 -9.464722 59.389178
    Unten rechts KachelX + 1 31046 KachelY + 1 19252 -0.16509468 1.03653670 -9.459228 59.389178
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03658552-1.03653670) × R
    4.88199999999495e-05 × 6371000     		dl = 311.032219999678m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03658552-1.03653670) × R
    4.88199999999495e-05 × 6371000     		dr = 311.032219999678m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16519056--0.16509468) × cos(1.03658552) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.509161962571285 × 6371000     		do = 311.02233839635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16519056--0.16509468) × cos(1.03653670) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.509203979909268 × 6371000     		du = 311.048004749443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03658552)-sin(1.03653670))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.509161962571285-0.509203979909268)×R²
    abs(-0.16509468--0.16519056)×4.20173379830358e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.20173379830358e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.20173379830358e-05×40589641000000     		ar = 96741.9599314989m²