Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31044 / 37309
↖ ↑ ↗
← S 24.191858°
W  9.470215°		 ← 557.15 m → S 24.191858°
W  9.464722°		 →
↑
557.14 m
↓
↑
557.14 m
↓
S 24.196869°
W  9.470215°		 ← 557.13 m →
310 405 m²		 S 24.196869°
W  9.464722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473701477050781 y=0.569297790527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473701477050781 × 216)
    floor (0.473701477050781 × 65536)
    floor (31044.5)     		tx = 31044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.569297790527344 × 216)
    floor (0.569297790527344 × 65536)
    floor (37309.5)     		ty = 37309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31044 / 37309 ti = "16/31044/37309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31044/37309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31044 ÷ 216
    31044 ÷ 65536     		x = 0.47369384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37309 ÷ 216
    37309 ÷ 65536     		y = 0.569290161132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47369384765625 × 2 - 1) × π
    -0.0526123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16528643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.569290161132812 × 2 - 1) × π
    -0.138580322265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.43536292234935
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16528643} λ = -0.16528643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.43536292234935))-π/2
    2×atan(0.647029802885718)-π/2
    2×0.574284373889239-π/2
    1.14856874777848-1.57079632675     		φ = -0.42222758
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16528643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.470215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.42222758 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -24.191858°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31044 KachelY 37309 -0.16528643 -0.42222758 -9.470215 -24.191858
    Oben rechts KachelX + 1 31045 KachelY 37309 -0.16519056 -0.42222758 -9.464722 -24.191858
    Unten links KachelX 31044 KachelY + 1 37310 -0.16528643 -0.42231503 -9.470215 -24.196869
    Unten rechts KachelX + 1 31045 KachelY + 1 37310 -0.16519056 -0.42231503 -9.464722 -24.196869
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.42222758--0.42231503) × R
    8.74499999999889e-05 × 6371000     		dl = 557.143949999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.42222758--0.42231503) × R
    8.74499999999889e-05 × 6371000     		dr = 557.143949999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16528643--0.16519056) × cos(-0.42222758) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.912178356609322 × 6371000     		do = 557.147384275822m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16528643--0.16519056) × cos(-0.42231503) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.912142516686988 × 6371000     		du = 557.125493689583m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.42222758)-sin(-0.42231503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.912178356609322-0.912142516686988)×R²
    abs(-0.16519056--0.16528643)×3.58399223333583e-05×R²
    9.58700000000257e-05×3.58399223333583e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×3.58399223333583e-05×40589641000000     		ar = 310405.196501572m²