Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31044 / 37308
↖ ↑ ↗
← S 24.186847°
W  9.470215°		 ← 557.17 m → S 24.186847°
W  9.464722°		 →
↑
557.21 m
↓
↑
557.21 m
↓
S 24.191858°
W  9.470215°		 ← 557.15 m →
310 453 m²		 S 24.191858°
W  9.464722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473701477050781 y=0.569282531738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473701477050781 × 216)
    floor (0.473701477050781 × 65536)
    floor (31044.5)     		tx = 31044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.569282531738281 × 216)
    floor (0.569282531738281 × 65536)
    floor (37308.5)     		ty = 37308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31044 / 37308 ti = "16/31044/37308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31044/37308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31044 ÷ 216
    31044 ÷ 65536     		x = 0.47369384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37308 ÷ 216
    37308 ÷ 65536     		y = 0.56927490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47369384765625 × 2 - 1) × π
    -0.0526123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16528643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56927490234375 × 2 - 1) × π
    -0.1385498046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.43526704855011
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16528643} λ = -0.16528643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.43526704855011))-π/2
    2×atan(0.647091839064916)-π/2
    2×0.574328101750513-π/2
    1.14865620350103-1.57079632675     		φ = -0.42214012
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16528643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.470215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.42214012 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -24.186847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31044 KachelY 37308 -0.16528643 -0.42214012 -9.470215 -24.186847
    Oben rechts KachelX + 1 31045 KachelY 37308 -0.16519056 -0.42214012 -9.464722 -24.186847
    Unten links KachelX 31044 KachelY + 1 37309 -0.16528643 -0.42222758 -9.470215 -24.191858
    Unten rechts KachelX + 1 31045 KachelY + 1 37309 -0.16519056 -0.42222758 -9.464722 -24.191858
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.42214012--0.42222758) × R
    8.74599999999837e-05 × 6371000     		dl = 557.207659999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.42214012--0.42222758) × R
    8.74599999999837e-05 × 6371000     		dr = 557.207659999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16528643--0.16519056) × cos(-0.42214012) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.912214193652905 × 6371000     		do = 557.169273103755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16528643--0.16519056) × cos(-0.42222758) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.912178356609322 × 6371000     		du = 557.147384275822m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.42214012)-sin(-0.42222758))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.912214193652905-0.912178356609322)×R²
    abs(-0.16519056--0.16528643)×3.58370435834532e-05×R²
    9.58700000000257e-05×3.58370435834532e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×3.58370435834532e-05×40589641000000     		ar = 310452.888776513m²