Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31044 / 37293
↖ ↑ ↗
← S 24.111661°
W  9.470215°		 ← 557.50 m → S 24.111661°
W  9.464722°		 →
↑
557.46 m
↓
↑
557.46 m
↓
S 24.116675°
W  9.470215°		 ← 557.48 m →
310 778 m²		 S 24.116675°
W  9.464722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37293 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473701477050781 y=0.569053649902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473701477050781 × 216)
    floor (0.473701477050781 × 65536)
    floor (31044.5)     		tx = 31044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.569053649902344 × 216)
    floor (0.569053649902344 × 65536)
    floor (37293.5)     		ty = 37293
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31044 / 37293 ti = "16/31044/37293"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31044/37293.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31044 ÷ 216
    31044 ÷ 65536     		x = 0.47369384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37293 ÷ 216
    37293 ÷ 65536     		y = 0.569046020507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47369384765625 × 2 - 1) × π
    -0.0526123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16528643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.569046020507812 × 2 - 1) × π
    -0.138092041015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.433828941561508
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16528643} λ = -0.16528643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.433828941561508))-π/2
    2×atan(0.648023095823871)-π/2
    2×0.574984225643886-π/2
    1.14996845128777-1.57079632675     		φ = -0.42082788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16528643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.470215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.42082788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -24.111661°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31044 KachelY 37293 -0.16528643 -0.42082788 -9.470215 -24.111661
    Oben rechts KachelX + 1 31045 KachelY 37293 -0.16519056 -0.42082788 -9.464722 -24.111661
    Unten links KachelX 31044 KachelY + 1 37294 -0.16528643 -0.42091538 -9.470215 -24.116675
    Unten rechts KachelX + 1 31045 KachelY + 1 37294 -0.16519056 -0.42091538 -9.464722 -24.116675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.42082788--0.42091538) × R
    8.75000000000181e-05 × 6371000     		dl = 557.462500000115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.42082788--0.42091538) × R
    8.75000000000181e-05 × 6371000     		dr = 557.462500000115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16528643--0.16519056) × cos(-0.42082788) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.912751050718143 × 6371000     		do = 557.497178833441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16528643--0.16519056) × cos(-0.42091538) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.912715302052949 × 6371000     		du = 557.475343985946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.42082788)-sin(-0.42091538))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.912751050718143-0.912715302052949)×R²
    abs(-0.16519056--0.16528643)×3.57486651939576e-05×R²
    9.58700000000257e-05×3.57486651939576e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×3.57486651939576e-05×40589641000000     		ar = 310777.685199288m²