Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31044 / 37215
↖ ↑ ↗
← S 23.719983°
W  9.470215°		 ← 559.19 m → S 23.719983°
W  9.464722°		 →
↑
559.18 m
↓
↑
559.18 m
↓
S 23.725012°
W  9.470215°		 ← 559.17 m →
312 683 m²		 S 23.725012°
W  9.464722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37215 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473701477050781 y=0.567863464355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473701477050781 × 216)
    floor (0.473701477050781 × 65536)
    floor (31044.5)     		tx = 31044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.567863464355469 × 216)
    floor (0.567863464355469 × 65536)
    floor (37215.5)     		ty = 37215
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31044 / 37215 ti = "16/31044/37215"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31044/37215.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31044 ÷ 216
    31044 ÷ 65536     		x = 0.47369384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37215 ÷ 216
    37215 ÷ 65536     		y = 0.567855834960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47369384765625 × 2 - 1) × π
    -0.0526123046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16528643
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.567855834960938 × 2 - 1) × π
    -0.135711669921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.426350785220779
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16528643} λ = -0.16528643}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.426350785220779))-π/2
    2×atan(0.652887278738783)-π/2
    2×0.578402264926476-π/2
    1.15680452985295-1.57079632675     		φ = -0.41399180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16528643} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.470215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41399180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.719983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31044 KachelY 37215 -0.16528643 -0.41399180 -9.470215 -23.719983
    Oben rechts KachelX + 1 31045 KachelY 37215 -0.16519056 -0.41399180 -9.464722 -23.719983
    Unten links KachelX 31044 KachelY + 1 37216 -0.16528643 -0.41407957 -9.470215 -23.725012
    Unten rechts KachelX + 1 31045 KachelY + 1 37216 -0.16519056 -0.41407957 -9.464722 -23.725012
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41399180--0.41407957) × R
    8.7769999999987e-05 × 6371000     		dl = 559.182669999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41399180--0.41407957) × R
    8.7769999999987e-05 × 6371000     		dr = 559.182669999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16528643--0.16519056) × cos(-0.41399180) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.915522351420741 × 6371000     		do = 559.18985540958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16528643--0.16519056) × cos(-0.41407957) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.915487040910553 × 6371000     		du = 559.168288181805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41399180)-sin(-0.41407957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915522351420741-0.915487040910553)×R²
    abs(-0.16519056--0.16528643)×3.53105101881246e-05×R²
    9.58700000000257e-05×3.53105101881246e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×3.53105101881246e-05×40589641000000     		ar = 312683.246575549m²