Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 31044 / 21828
↖ ↑ ↗
← N 75.970890°
W 94.735107°		 ← 74.04 m → N 75.970890°
W 94.732361°		 →
↑
74.09 m
↓
↑
74.09 m
↓
N 75.970224°
W 94.735107°		 ← 74.04 m →
5 486 m²		 N 75.970224°
W 94.732361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.236850738525391 y=0.166538238525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.236850738525391 × 217)
    floor (0.236850738525391 × 131072)
    floor (31044.5)     		tx = 31044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.166538238525391 × 217)
    floor (0.166538238525391 × 131072)
    floor (21828.5)     		ty = 21828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 31044 / 21828 ti = "17/31044/21828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/31044/21828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31044 ÷ 217
    31044 ÷ 131072     		x = 0.236846923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21828 ÷ 217
    21828 ÷ 131072     		y = 0.166534423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.236846923828125 × 2 - 1) × π
    -0.52630615234375 × 3.1415926535     		Λ = -1.65343954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.166534423828125 × 2 - 1) × π
    0.66693115234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.09522600859341
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.65343954} λ = -1.65343954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09522600859341))-π/2
    2×atan(8.1272775972361)-π/2
    2×1.44836924605808-π/2
    2.89673849211615-1.57079632675     		φ = 1.32594217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.65343954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -94.735107°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32594217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.970890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31044 KachelY 21828 -1.65343954 1.32594217 -94.735107 75.970890
    Oben rechts KachelX + 1 31045 KachelY 21828 -1.65339160 1.32594217 -94.732361 75.970890
    Unten links KachelX 31044 KachelY + 1 21829 -1.65343954 1.32593054 -94.735107 75.970224
    Unten rechts KachelX + 1 31045 KachelY + 1 21829 -1.65339160 1.32593054 -94.732361 75.970224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32594217-1.32593054) × R
    1.16299999999292e-05 × 6371000     		dl = 74.0947299995489m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32594217-1.32593054) × R
    1.16299999999292e-05 × 6371000     		dr = 74.0947299995489m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.65343954--1.65339160) × cos(1.32594217) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.242414834272593 × 6371000     		do = 74.0397301446357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.65343954--1.65339160) × cos(1.32593054) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.242426117364582 × 6371000     		du = 74.0431762913557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32594217)-sin(1.32593054))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.242414834272593-0.242426117364582)×R²
    abs(-1.65339160--1.65343954)×1.12830919884455e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.12830919884455e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.12830919884455e-05×40589641000000     		ar = 5486.08148504933m²