Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 31043 / 6499
↖ ↑ ↗
← N 72.909953°
E161.048584°		 ← 358.99 m → N 72.909953°
E161.059570°		 →
↑
359.07 m
↓
↑
359.07 m
↓
N 72.906723°
E161.048584°		 ← 359.06 m →
128 914 m²		 N 72.906723°
E161.059570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31043 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.947372436523438 y=0.198348999023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.947372436523438 × 215)
    floor (0.947372436523438 × 32768)
    floor (31043.5)     		tx = 31043
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198348999023438 × 215)
    floor (0.198348999023438 × 32768)
    floor (6499.5)     		ty = 6499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 31043 / 6499 ti = "15/31043/6499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/31043/6499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31043 ÷ 215
    31043 ÷ 32768     		x = 0.947357177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6499 ÷ 215
    6499 ÷ 32768     		y = 0.198333740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.947357177734375 × 2 - 1) × π
    0.89471435546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.81082805
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198333740234375 × 2 - 1) × π
    0.60333251953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.89542501097702
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.81082805} λ = 2.81082805}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89542501097702))-π/2
    2×atan(6.65537641165444)-π/2
    2×1.42165752620293-π/2
    2.84331505240586-1.57079632675     		φ = 1.27251873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.81082805} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.048584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27251873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.909953°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31043 KachelY 6499 2.81082805 1.27251873 161.048584 72.909953
    Oben rechts KachelX + 1 31044 KachelY 6499 2.81101979 1.27251873 161.059570 72.909953
    Unten links KachelX 31043 KachelY + 1 6500 2.81082805 1.27246237 161.048584 72.906723
    Unten rechts KachelX + 1 31044 KachelY + 1 6500 2.81101979 1.27246237 161.059570 72.906723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27251873-1.27246237) × R
    5.63600000000886e-05 × 6371000     		dl = 359.069560000564m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27251873-1.27246237) × R
    5.63600000000886e-05 × 6371000     		dr = 359.069560000564m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.81082805-2.81101979) × cos(1.27251873) × R
    0.000191739999999996 × 0.293874294488344 × 6371000     		do = 358.989649981709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.81082805-2.81101979) × cos(1.27246237) × R
    0.000191739999999996 × 0.293928165393742 × 6371000     		du = 359.055457362061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27251873)-sin(1.27246237))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293874294488344-0.293928165393742)×R²
    abs(2.81101979-2.81082805)×5.38709053981568e-05×R²
    0.000191739999999996×5.38709053981568e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.38709053981568e-05×40589641000000     		ar = 128914.070411152m²