Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31043 / 17527
↖ ↑ ↗
← N 63.881808°
W  9.475708°		 ← 268.88 m → N 63.881808°
W  9.470215°		 →
↑
268.92 m
↓
↑
268.92 m
↓
N 63.879390°
W  9.475708°		 ← 268.91 m →
72 311 m²		 N 63.879390°
W  9.470215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31043 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473686218261719 y=0.267448425292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473686218261719 × 216)
    floor (0.473686218261719 × 65536)
    floor (31043.5)     		tx = 31043
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.267448425292969 × 216)
    floor (0.267448425292969 × 65536)
    floor (17527.5)     		ty = 17527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31043 / 17527 ti = "16/31043/17527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31043/17527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31043 ÷ 216
    31043 ÷ 65536     		x = 0.473678588867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17527 ÷ 216
    17527 ÷ 65536     		y = 0.267440795898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473678588867188 × 2 - 1) × π
    -0.052642822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16538230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.267440795898438 × 2 - 1) × π
    0.465118408203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.46121257421855
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16538230} λ = -0.16538230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46121257421855))-π/2
    2×atan(4.31118399073946)-π/2
    2×1.34287210726637-π/2
    2.68574421453274-1.57079632675     		φ = 1.11494789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16538230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.475708°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11494789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.881808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31043 KachelY 17527 -0.16538230 1.11494789 -9.475708 63.881808
    Oben rechts KachelX + 1 31044 KachelY 17527 -0.16528643 1.11494789 -9.470215 63.881808
    Unten links KachelX 31043 KachelY + 1 17528 -0.16538230 1.11490568 -9.475708 63.879390
    Unten rechts KachelX + 1 31044 KachelY + 1 17528 -0.16528643 1.11490568 -9.470215 63.879390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11494789-1.11490568) × R
    4.22100000001535e-05 × 6371000     		dl = 268.919910000978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11494789-1.11490568) × R
    4.22100000001535e-05 × 6371000     		dr = 268.919910000978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16538230--0.16528643) × cos(1.11494789) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.440224273249783 × 6371000     		do = 268.8836021581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16538230--0.16528643) × cos(1.11490568) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.440262172703705 × 6371000     		du = 268.906750681045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11494789)-sin(1.11490568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.440224273249783-0.440262172703705)×R²
    abs(-0.16528643--0.16538230)×3.78994539215749e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.78994539215749e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.78994539215749e-05×40589641000000     		ar = 72311.2666533676m²