Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 31042 / 6500
↖ ↑ ↗
← N 72.906723°
E161.037598°		 ← 359.07 m → N 72.906723°
E161.048584°		 →
↑
359.07 m
↓
↑
359.07 m
↓
N 72.903494°
E161.037598°		 ← 359.14 m →
128 944 m²		 N 72.903494°
E161.048584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.947341918945312 y=0.198379516601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.947341918945312 × 215)
    floor (0.947341918945312 × 32768)
    floor (31042.5)     		tx = 31042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198379516601562 × 215)
    floor (0.198379516601562 × 32768)
    floor (6500.5)     		ty = 6500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 31042 / 6500 ti = "15/31042/6500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/31042/6500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31042 ÷ 215
    31042 ÷ 32768     		x = 0.94732666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6500 ÷ 215
    6500 ÷ 32768     		y = 0.1983642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94732666015625 × 2 - 1) × π
    0.8946533203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.81063630
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1983642578125 × 2 - 1) × π
    0.603271484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.89523326337854
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.81063630} λ = 2.81063630}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89523326337854))-π/2
    2×atan(6.65410038155229)-π/2
    2×1.42162934877532-π/2
    2.84325869755064-1.57079632675     		φ = 1.27246237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.81063630} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.037598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27246237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.906723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31042 KachelY 6500 2.81063630 1.27246237 161.037598 72.906723
    Oben rechts KachelX + 1 31043 KachelY 6500 2.81082805 1.27246237 161.048584 72.906723
    Unten links KachelX 31042 KachelY + 1 6501 2.81063630 1.27240601 161.037598 72.903494
    Unten rechts KachelX + 1 31043 KachelY + 1 6501 2.81082805 1.27240601 161.048584 72.903494
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27246237-1.27240601) × R
    5.63599999998665e-05 × 6371000     		dl = 359.06955999915m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27246237-1.27240601) × R
    5.63599999998665e-05 × 6371000     		dr = 359.06955999915m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.81063630-2.81082805) × cos(1.27246237) × R
    0.000191749999999935 × 0.293928165393742 × 6371000     		do = 359.074183525365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.81063630-2.81082805) × cos(1.27240601) × R
    0.000191749999999935 × 0.293982035365492 × 6371000     		du = 359.139993197251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27246237)-sin(1.27240601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293928165393742-0.293982035365492)×R²
    abs(2.81082805-2.81063630)×5.3869971749998e-05×R²
    0.000191749999999935×5.3869971749998e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.3869971749998e-05×40589641000000     		ar = 128944.424244723m²