Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31041 / 38979
↖ ↑ ↗
← S 32.263911°
W  9.486694°		 ← 516.48 m → S 32.263911°
W  9.481201°		 →
↑
516.50 m
↓
↑
516.50 m
↓
S 32.268556°
W  9.486694°		 ← 516.45 m →
266 754 m²		 S 32.268556°
W  9.481201°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38979 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473655700683594 y=0.594779968261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473655700683594 × 216)
    floor (0.473655700683594 × 65536)
    floor (31041.5)     		tx = 31041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.594779968261719 × 216)
    floor (0.594779968261719 × 65536)
    floor (38979.5)     		ty = 38979
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31041 / 38979 ti = "16/31041/38979"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31041/38979.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31041 ÷ 216
    31041 ÷ 65536     		x = 0.473648071289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38979 ÷ 216
    38979 ÷ 65536     		y = 0.594772338867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473648071289062 × 2 - 1) × π
    -0.052703857421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16557405
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.594772338867188 × 2 - 1) × π
    -0.189544677734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.595472167080338
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16557405} λ = -0.16557405}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.595472167080338))-π/2
    2×atan(0.551302197654967)-π/2
    2×0.503842429026037-π/2
    1.00768485805207-1.57079632675     		φ = -0.56311147
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16557405} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.486694°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56311147 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.263911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31041 KachelY 38979 -0.16557405 -0.56311147 -9.486694 -32.263911
    Oben rechts KachelX + 1 31042 KachelY 38979 -0.16547818 -0.56311147 -9.481201 -32.263911
    Unten links KachelX 31041 KachelY + 1 38980 -0.16557405 -0.56319254 -9.486694 -32.268556
    Unten rechts KachelX + 1 31042 KachelY + 1 38980 -0.16547818 -0.56319254 -9.481201 -32.268556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56311147--0.56319254) × R
    8.10700000000164e-05 × 6371000     		dl = 516.496970000105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56311147--0.56319254) × R
    8.10700000000164e-05 × 6371000     		dr = 516.496970000105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16557405--0.16547818) × cos(-0.56311147) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.845598242521899 × 6371000     		do = 516.481064865859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16557405--0.16547818) × cos(-0.56319254) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.845554962969445 × 6371000     		du = 516.454630244529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56311147)-sin(-0.56319254))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.845598242521899-0.845554962969445)×R²
    abs(-0.16547818--0.16557405)×4.32795524543117e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.32795524543117e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.32795524543117e-05×40589641000000     		ar = 266754.078510496m²