Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31041 / 37313
↖ ↑ ↗
← S 24.211900°
W  9.486694°		 ← 557.06 m → S 24.211900°
W  9.481201°		 →
↑
557.08 m
↓
↑
557.08 m
↓
S 24.216910°
W  9.486694°		 ← 557.04 m →
310 321 m²		 S 24.216910°
W  9.481201°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473655700683594 y=0.569358825683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473655700683594 × 216)
    floor (0.473655700683594 × 65536)
    floor (31041.5)     		tx = 31041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.569358825683594 × 216)
    floor (0.569358825683594 × 65536)
    floor (37313.5)     		ty = 37313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31041 / 37313 ti = "16/31041/37313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31041/37313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31041 ÷ 216
    31041 ÷ 65536     		x = 0.473648071289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37313 ÷ 216
    37313 ÷ 65536     		y = 0.569351196289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473648071289062 × 2 - 1) × π
    -0.052703857421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16557405
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.569351196289062 × 2 - 1) × π
    -0.138702392578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.43574641754631
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16557405} λ = -0.16557405}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.43574641754631))-π/2
    2×atan(0.646781717636812)-π/2
    2×0.574109479626472-π/2
    1.14821895925294-1.57079632675     		φ = -0.42257737
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16557405} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.486694°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.42257737 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -24.211900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31041 KachelY 37313 -0.16557405 -0.42257737 -9.486694 -24.211900
    Oben rechts KachelX + 1 31042 KachelY 37313 -0.16547818 -0.42257737 -9.481201 -24.211900
    Unten links KachelX 31041 KachelY + 1 37314 -0.16557405 -0.42266481 -9.486694 -24.216910
    Unten rechts KachelX + 1 31042 KachelY + 1 37314 -0.16547818 -0.42266481 -9.481201 -24.216910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.42257737--0.42266481) × R
    8.74399999999942e-05 × 6371000     		dl = 557.080239999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.42257737--0.42266481) × R
    8.74399999999942e-05 × 6371000     		dr = 557.080239999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16557405--0.16547818) × cos(-0.42257737) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.912034959168537 × 6371000     		do = 557.059798872579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16557405--0.16547818) × cos(-0.42266481) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.91199909544812 × 6371000     		du = 557.037893750762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.42257737)-sin(-0.42266481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.912034959168537-0.91199909544812)×R²
    abs(-0.16547818--0.16557405)×3.58637204171952e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.58637204171952e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.58637204171952e-05×40589641000000     		ar = 310320.905192718m²