Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 31041 / 21825
↖ ↑ ↗
← N 75.972887°
W 94.743347°		 ← 74.01 m → N 75.972887°
W 94.740601°		 →
↑
73.97 m
↓
↑
73.97 m
↓
N 75.972222°
W 94.743347°		 ← 74.02 m →
5 475 m²		 N 75.972222°
W 94.740601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.236827850341797 y=0.166515350341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.236827850341797 × 217)
    floor (0.236827850341797 × 131072)
    floor (31041.5)     		tx = 31041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.166515350341797 × 217)
    floor (0.166515350341797 × 131072)
    floor (21825.5)     		ty = 21825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 31041 / 21825 ti = "17/31041/21825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/31041/21825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31041 ÷ 217
    31041 ÷ 131072     		x = 0.236824035644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21825 ÷ 217
    21825 ÷ 131072     		y = 0.166511535644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.236824035644531 × 2 - 1) × π
    -0.526351928710938 × 3.1415926535     		Λ = -1.65358335
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.166511535644531 × 2 - 1) × π
    0.666976928710938 × 3.1415926535     		Φ = 2.09536981929227
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.65358335} λ = -1.65358335}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09536981929227))-π/2
    2×atan(8.12844647075344)-π/2
    2×1.44838667576583-π/2
    2.89677335153166-1.57079632675     		φ = 1.32597702
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.65358335} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -94.743347°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32597702 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.972887°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31041 KachelY 21825 -1.65358335 1.32597702 -94.743347 75.972887
    Oben rechts KachelX + 1 31042 KachelY 21825 -1.65353542 1.32597702 -94.740601 75.972887
    Unten links KachelX 31041 KachelY + 1 21826 -1.65358335 1.32596541 -94.743347 75.972222
    Unten rechts KachelX + 1 31042 KachelY + 1 21826 -1.65353542 1.32596541 -94.740601 75.972222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32597702-1.32596541) × R
    1.16100000000507e-05 × 6371000     		dl = 73.9673100003233m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32597702-1.32596541) × R
    1.16100000000507e-05 × 6371000     		dr = 73.9673100003233m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.65358335--1.65353542) × cos(1.32597702) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.24238102360715 × 6371000     		do = 74.0139614018597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.65358335--1.65353542) × cos(1.32596541) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.24239228739382 × 6371000     		du = 74.0174009346226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32597702)-sin(1.32596541))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.24238102360715-0.24239228739382)×R²
    abs(-1.65353542--1.65358335)×1.12637866696574e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.12637866696574e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.12637866696574e-05×40589641000000     		ar = 5474.74083398103m²