Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31041 / 19776
↖ ↑ ↗
← N 57.891497°
W  9.486694°		 ← 324.65 m → N 57.891497°
W  9.481201°		 →
↑
324.67 m
↓
↑
324.67 m
↓
N 57.888578°
W  9.486694°		 ← 324.67 m →
105 407 m²		 N 57.888578°
W  9.481201°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473655700683594 y=0.301765441894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473655700683594 × 216)
    floor (0.473655700683594 × 65536)
    floor (31041.5)     		tx = 31041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301765441894531 × 216)
    floor (0.301765441894531 × 65536)
    floor (19776.5)     		ty = 19776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31041 / 19776 ti = "16/31041/19776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31041/19776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31041 ÷ 216
    31041 ÷ 65536     		x = 0.473648071289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19776 ÷ 216
    19776 ÷ 65536     		y = 0.3017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473648071289062 × 2 - 1) × π
    -0.052703857421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16557405
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3017578125 × 2 - 1) × π
    0.396484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.24559239972754
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16557405} λ = -0.16557405}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24559239972754))-π/2
    2×atan(3.47499277447749)-π/2
    2×1.29059678224517-π/2
    2.58119356449035-1.57079632675     		φ = 1.01039724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16557405} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.486694°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01039724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.891497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31041 KachelY 19776 -0.16557405 1.01039724 -9.486694 57.891497
    Oben rechts KachelX + 1 31042 KachelY 19776 -0.16547818 1.01039724 -9.481201 57.891497
    Unten links KachelX 31041 KachelY + 1 19777 -0.16557405 1.01034628 -9.486694 57.888578
    Unten rechts KachelX + 1 31042 KachelY + 1 19777 -0.16547818 1.01034628 -9.481201 57.888578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01039724-1.01034628) × R
    5.09600000000443e-05 × 6371000     		dl = 324.666160000282m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01039724-1.01034628) × R
    5.09600000000443e-05 × 6371000     		dr = 324.666160000282m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16557405--0.16547818) × cos(1.01039724) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.531524283937538 × 6371000     		do = 324.648532087048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16557405--0.16547818) × cos(1.01034628) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.531567448561395 × 6371000     		du = 324.674896511397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01039724)-sin(1.01034628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.531524283937538-0.531567448561395)×R²
    abs(-0.16547818--0.16557405)×4.31646238574501e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.31646238574501e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.31646238574501e-05×40589641000000     		ar = 105406.672103326m²