Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31040 / 17517
↖ ↑ ↗
← N 63.905980°
W  9.492188°		 ← 268.68 m → N 63.905980°
W  9.486694°		 →
↑
268.73 m
↓
↑
268.73 m
↓
N 63.903564°
W  9.492188°		 ← 268.70 m →
72 205 m²		 N 63.903564°
W  9.486694°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17517 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473640441894531 y=0.267295837402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473640441894531 × 216)
    floor (0.473640441894531 × 65536)
    floor (31040.5)     		tx = 31040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.267295837402344 × 216)
    floor (0.267295837402344 × 65536)
    floor (17517.5)     		ty = 17517
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31040 / 17517 ti = "16/31040/17517"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31040/17517.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31040 ÷ 216
    31040 ÷ 65536     		x = 0.4736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17517 ÷ 216
    17517 ÷ 65536     		y = 0.267288208007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4736328125 × 2 - 1) × π
    -0.052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16566993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.267288208007812 × 2 - 1) × π
    0.465423583984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.46217131221095
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16566993} λ = -0.16566993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46217131221095))-π/2
    2×atan(4.31531926863087)-π/2
    2×1.34308304632372-π/2
    2.68616609264745-1.57079632675     		φ = 1.11536977
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16566993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.492188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11536977 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.905980°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31040 KachelY 17517 -0.16566993 1.11536977 -9.492188 63.905980
    Oben rechts KachelX + 1 31041 KachelY 17517 -0.16557405 1.11536977 -9.486694 63.905980
    Unten links KachelX 31040 KachelY + 1 17518 -0.16566993 1.11532759 -9.492188 63.903564
    Unten rechts KachelX + 1 31041 KachelY + 1 17518 -0.16557405 1.11532759 -9.486694 63.903564
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11536977-1.11532759) × R
    4.21800000001138e-05 × 6371000     		dl = 268.728780000725m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11536977-1.11532759) × R
    4.21800000001138e-05 × 6371000     		dr = 268.728780000725m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16566993--0.16557405) × cos(1.11536977) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.439845433159157 × 6371000     		do = 268.680233816492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16566993--0.16557405) × cos(1.11532759) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.439883313507713 × 6371000     		du = 268.70337308347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11536977)-sin(1.11532759))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.439845433159157-0.439883313507713)×R²
    abs(-0.16557405--0.16566993)×3.78803485560075e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.78803485560075e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.78803485560075e-05×40589641000000     		ar = 72205.2205481676m²