Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31040 / 17241
↖ ↑ ↗
← N 64.564960°
W  9.492188°		 ← 262.35 m → N 64.564960°
W  9.486694°		 →
↑
262.36 m
↓
↑
262.36 m
↓
N 64.562600°
W  9.492188°		 ← 262.38 m →
68 833 m²		 N 64.562600°
W  9.486694°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473640441894531 y=0.263084411621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473640441894531 × 216)
    floor (0.473640441894531 × 65536)
    floor (31040.5)     		tx = 31040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263084411621094 × 216)
    floor (0.263084411621094 × 65536)
    floor (17241.5)     		ty = 17241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31040 / 17241 ti = "16/31040/17241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31040/17241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31040 ÷ 216
    31040 ÷ 65536     		x = 0.4736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17241 ÷ 216
    17241 ÷ 65536     		y = 0.263076782226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4736328125 × 2 - 1) × π
    -0.052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16566993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263076782226562 × 2 - 1) × π
    0.473846435546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.48863248080122
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16566993} λ = -0.16566993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48863248080122))-π/2
    2×atan(4.43103185272962)-π/2
    2×1.34883372893428-π/2
    2.69766745786856-1.57079632675     		φ = 1.12687113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16566993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.492188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12687113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.564960°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31040 KachelY 17241 -0.16566993 1.12687113 -9.492188 64.564960
    Oben rechts KachelX + 1 31041 KachelY 17241 -0.16557405 1.12687113 -9.486694 64.564960
    Unten links KachelX 31040 KachelY + 1 17242 -0.16566993 1.12682995 -9.492188 64.562600
    Unten rechts KachelX + 1 31041 KachelY + 1 17242 -0.16557405 1.12682995 -9.486694 64.562600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12687113-1.12682995) × R
    4.1179999999974e-05 × 6371000     		dl = 262.357779999834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12687113-1.12682995) × R
    4.1179999999974e-05 × 6371000     		dr = 262.357779999834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16566993--0.16557405) × cos(1.12687113) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.4294875030187 × 6371000     		do = 262.353076860457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16566993--0.16557405) × cos(1.12682995) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.429524691192493 × 6371000     		du = 262.375793311457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12687113)-sin(1.12682995))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.4294875030187-0.429524691192493)×R²
    abs(-0.16557405--0.16566993)×3.71881737930568e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.71881737930568e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.71881737930568e-05×40589641000000     		ar = 68833.3507497833m²