Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31038 / 37312
↖ ↑ ↗
← S 24.206890°
W  9.503174°		 ← 557.08 m → S 24.206890°
W  9.497681°		 →
↑
557.08 m
↓
↑
557.08 m
↓
S 24.211900°
W  9.503174°		 ← 557.06 m →
310 333 m²		 S 24.211900°
W  9.497681°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31038 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473609924316406 y=0.569343566894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473609924316406 × 216)
    floor (0.473609924316406 × 65536)
    floor (31038.5)     		tx = 31038
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.569343566894531 × 216)
    floor (0.569343566894531 × 65536)
    floor (37312.5)     		ty = 37312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31038 / 37312 ti = "16/31038/37312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31038/37312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31038 ÷ 216
    31038 ÷ 65536     		x = 0.473602294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37312 ÷ 216
    37312 ÷ 65536     		y = 0.5693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473602294921875 × 2 - 1) × π
    -0.05279541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16586167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5693359375 × 2 - 1) × π
    -0.138671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.43565054374707
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16586167} λ = -0.16586167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.43565054374707))-π/2
    2×atan(0.646843730029995)-π/2
    2×0.574153200614281-π/2
    1.14830640122856-1.57079632675     		φ = -0.42248993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16586167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.503174°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.42248993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -24.206890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31038 KachelY 37312 -0.16586167 -0.42248993 -9.503174 -24.206890
    Oben rechts KachelX + 1 31039 KachelY 37312 -0.16576580 -0.42248993 -9.497681 -24.206890
    Unten links KachelX 31038 KachelY + 1 37313 -0.16586167 -0.42257737 -9.503174 -24.211900
    Unten rechts KachelX + 1 31039 KachelY + 1 37313 -0.16576580 -0.42257737 -9.497681 -24.211900
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.42248993--0.42257737) × R
    8.74399999999942e-05 × 6371000     		dl = 557.080239999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.42248993--0.42257737) × R
    8.74399999999942e-05 × 6371000     		dr = 557.080239999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16586167--0.16576580) × cos(-0.42248993) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.91207081591576 × 6371000     		do = 557.081699735255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16586167--0.16576580) × cos(-0.42257737) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.912034959168537 × 6371000     		du = 557.059798872579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.42248993)-sin(-0.42257737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91207081591576-0.912034959168537)×R²
    abs(-0.16576580--0.16586167)×3.58567472227289e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.58567472227289e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.58567472227289e-05×40589641000000     		ar = 310333.106917013m²