Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31037 / 37315
↖ ↑ ↗
← S 24.221919°
W  9.508667°		 ← 557.07 m → S 24.221919°
W  9.503174°		 →
↑
557.02 m
↓
↑
557.02 m
↓
S 24.226929°
W  9.508667°		 ← 557.05 m →
310 293 m²		 S 24.226929°
W  9.503174°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31037 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473594665527344 y=0.569389343261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473594665527344 × 216)
    floor (0.473594665527344 × 65536)
    floor (31037.5)     		tx = 31037
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.569389343261719 × 216)
    floor (0.569389343261719 × 65536)
    floor (37315.5)     		ty = 37315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31037 / 37315 ti = "16/31037/37315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31037/37315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31037 ÷ 216
    31037 ÷ 65536     		x = 0.473587036132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37315 ÷ 216
    37315 ÷ 65536     		y = 0.569381713867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473587036132812 × 2 - 1) × π
    -0.052825927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16595755
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.569381713867188 × 2 - 1) × π
    -0.138763427734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.435938165144791
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16595755} λ = -0.16595755}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.435938165144791))-π/2
    2×atan(0.646657710685111)-π/2
    2×0.574022042808223-π/2
    1.14804408561645-1.57079632675     		φ = -0.42275224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16595755} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.508667°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.42275224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -24.221919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31037 KachelY 37315 -0.16595755 -0.42275224 -9.508667 -24.221919
    Oben rechts KachelX + 1 31038 KachelY 37315 -0.16586167 -0.42275224 -9.503174 -24.221919
    Unten links KachelX 31037 KachelY + 1 37316 -0.16595755 -0.42283967 -9.508667 -24.226929
    Unten rechts KachelX + 1 31038 KachelY + 1 37316 -0.16586167 -0.42283967 -9.503174 -24.226929
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.42275224--0.42283967) × R
    8.74299999999995e-05 × 6371000     		dl = 557.016529999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.42275224--0.42283967) × R
    8.74299999999995e-05 × 6371000     		dr = 557.016529999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16595755--0.16586167) × cos(-0.42275224) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.911963228857502 × 6371000     		do = 557.074088053302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16595755--0.16586167) × cos(-0.42283967) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.911927355295832 × 6371000     		du = 557.052174635063m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.42275224)-sin(-0.42283967))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.911963228857502-0.911927355295832)×R²
    abs(-0.16586167--0.16595755)×3.58735616694528e-05×R²
    9.58800000000204e-05×3.58735616694528e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×3.58735616694528e-05×40589641000000     		ar = 310293.372609761m²