Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31037 / 37190
↖ ↑ ↗
← S 23.594195°
W  9.508667°		 ← 559.79 m → S 23.594195°
W  9.503174°		 →
↑
559.69 m
↓
↑
559.69 m
↓
S 23.599228°
W  9.508667°		 ← 559.76 m →
313 302 m²		 S 23.599228°
W  9.503174°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31037 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473594665527344 y=0.567481994628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473594665527344 × 216)
    floor (0.473594665527344 × 65536)
    floor (31037.5)     		tx = 31037
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.567481994628906 × 216)
    floor (0.567481994628906 × 65536)
    floor (37190.5)     		ty = 37190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31037 / 37190 ti = "16/31037/37190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31037/37190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31037 ÷ 216
    31037 ÷ 65536     		x = 0.473587036132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37190 ÷ 216
    37190 ÷ 65536     		y = 0.567474365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473587036132812 × 2 - 1) × π
    -0.052825927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16595755
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.567474365234375 × 2 - 1) × π
    -0.13494873046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.423953940239777
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16595755} λ = -0.16595755}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.423953940239777))-π/2
    2×atan(0.654454025210135)-π/2
    2×0.57949997572919-π/2
    1.15899995145838-1.57079632675     		φ = -0.41179638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16595755} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.508667°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41179638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.594195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31037 KachelY 37190 -0.16595755 -0.41179638 -9.508667 -23.594195
    Oben rechts KachelX + 1 31038 KachelY 37190 -0.16586167 -0.41179638 -9.503174 -23.594195
    Unten links KachelX 31037 KachelY + 1 37191 -0.16595755 -0.41188423 -9.508667 -23.599228
    Unten rechts KachelX + 1 31038 KachelY + 1 37191 -0.16586167 -0.41188423 -9.503174 -23.599228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41179638--0.41188423) × R
    8.78500000000004e-05 × 6371000     		dl = 559.692350000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41179638--0.41188423) × R
    8.78500000000004e-05 × 6371000     		dr = 559.692350000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16595755--0.16586167) × cos(-0.41179638) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.916403289611731 × 6371000     		do = 559.786305736313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16595755--0.16586167) × cos(-0.41188423) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.916368123570008 × 6371000     		du = 559.764824507682m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41179638)-sin(-0.41188423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916403289611731-0.916368123570008)×R²
    abs(-0.16586167--0.16595755)×3.51660417223787e-05×R²
    9.58800000000204e-05×3.51660417223787e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×3.51660417223787e-05×40589641000000     		ar = 313302.101717048m²