Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 31036 / 6503
↖ ↑ ↗
← N 72.897033°
E160.971680°		 ← 359.27 m → N 72.897033°
E160.982666°		 →
↑
359.26 m
↓
↑
359.26 m
↓
N 72.893802°
E160.971680°		 ← 359.34 m →
129 084 m²		 N 72.893802°
E160.982666°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31036 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.947158813476562 y=0.198471069335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.947158813476562 × 215)
    floor (0.947158813476562 × 32768)
    floor (31036.5)     		tx = 31036
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198471069335938 × 215)
    floor (0.198471069335938 × 32768)
    floor (6503.5)     		ty = 6503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 31036 / 6503 ti = "15/31036/6503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/31036/6503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31036 ÷ 215
    31036 ÷ 32768     		x = 0.9471435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6503 ÷ 215
    6503 ÷ 32768     		y = 0.198455810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9471435546875 × 2 - 1) × π
    0.894287109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.80948581
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198455810546875 × 2 - 1) × π
    0.60308837890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.8946580205831
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80948581} λ = 2.80948581}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8946580205831))-π/2
    2×atan(6.65027375897172)-π/2
    2×1.42154478550046-π/2
    2.84308957100093-1.57079632675     		φ = 1.27229324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80948581} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.971680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27229324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.897033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31036 KachelY 6503 2.80948581 1.27229324 160.971680 72.897033
    Oben rechts KachelX + 1 31037 KachelY 6503 2.80967756 1.27229324 160.982666 72.897033
    Unten links KachelX 31036 KachelY + 1 6504 2.80948581 1.27223685 160.971680 72.893802
    Unten rechts KachelX + 1 31037 KachelY + 1 6504 2.80967756 1.27223685 160.982666 72.893802
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27229324-1.27223685) × R
    5.63899999999062e-05 × 6371000     		dl = 359.260689999403m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27229324-1.27223685) × R
    5.63899999999062e-05 × 6371000     		dr = 359.260689999403m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80948581-2.80967756) × cos(1.27229324) × R
    0.000191749999999935 × 0.294089820296253 × 6371000     		do = 359.271667499228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80948581-2.80967756) × cos(1.27223685) × R
    0.000191749999999935 × 0.29414371613804 × 6371000     		du = 359.337508774966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27229324)-sin(1.27223685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294089820296253-0.29414371613804)×R²
    abs(2.80967756-2.80948581)×5.38958417866664e-05×R²
    0.000191749999999935×5.38958417866664e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.38958417866664e-05×40589641000000     		ar = 129084.014288508m²