Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31034 / 17221
↖ ↑ ↗
← N 64.612104°
W  9.525147°		 ← 261.90 m → N 64.612104°
W  9.519653°		 →
↑
261.91 m
↓
↑
261.91 m
↓
N 64.609748°
W  9.525147°		 ← 261.92 m →
68 597 m²		 N 64.609748°
W  9.519653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31034 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473548889160156 y=0.262779235839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473548889160156 × 216)
    floor (0.473548889160156 × 65536)
    floor (31034.5)     		tx = 31034
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262779235839844 × 216)
    floor (0.262779235839844 × 65536)
    floor (17221.5)     		ty = 17221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31034 / 17221 ti = "16/31034/17221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31034/17221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31034 ÷ 216
    31034 ÷ 65536     		x = 0.473541259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17221 ÷ 216
    17221 ÷ 65536     		y = 0.262771606445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473541259765625 × 2 - 1) × π
    -0.05291748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16624517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262771606445312 × 2 - 1) × π
    0.474456787109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.49054995678603
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16624517} λ = -0.16624517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49054995678603))-π/2
    2×atan(4.43953640092285)-π/2
    2×1.34924513856781-π/2
    2.69849027713563-1.57079632675     		φ = 1.12769395
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16624517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.525147°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12769395 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.612104°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31034 KachelY 17221 -0.16624517 1.12769395 -9.525147 64.612104
    Oben rechts KachelX + 1 31035 KachelY 17221 -0.16614929 1.12769395 -9.519653 64.612104
    Unten links KachelX 31034 KachelY + 1 17222 -0.16624517 1.12765284 -9.525147 64.609748
    Unten rechts KachelX + 1 31035 KachelY + 1 17222 -0.16614929 1.12765284 -9.519653 64.609748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12769395-1.12765284) × R
    4.11099999999553e-05 × 6371000     		dl = 261.911809999716m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12769395-1.12765284) × R
    4.11099999999553e-05 × 6371000     		dr = 261.911809999716m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16624517--0.16614929) × cos(1.12769395) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.428744291351498 × 6371000     		do = 261.899084913594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16624517--0.16614929) × cos(1.12765284) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.428781430827391 × 6371000     		du = 261.921771617409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12769395)-sin(1.12765284))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428744291351498-0.428781430827391)×R²
    abs(-0.16614929--0.16624517)×3.71394758930665e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.71394758930665e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.71394758930665e-05×40589641000000     		ar = 68597.4343343986m²