Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 31032 / 6509
↖ ↑ ↗
← N 72.877637°
E160.927734°		 ← 359.67 m → N 72.877637°
E160.938721°		 →
↑
359.71 m
↓
↑
359.71 m
↓
N 72.874402°
E160.927734°		 ← 359.73 m →
129 386 m²		 N 72.874402°
E160.938721°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.947036743164062 y=0.198654174804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.947036743164062 × 215)
    floor (0.947036743164062 × 32768)
    floor (31032.5)     		tx = 31032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198654174804688 × 215)
    floor (0.198654174804688 × 32768)
    floor (6509.5)     		ty = 6509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 31032 / 6509 ti = "15/31032/6509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/31032/6509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31032 ÷ 215
    31032 ÷ 32768     		x = 0.947021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6509 ÷ 215
    6509 ÷ 32768     		y = 0.198638916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.947021484375 × 2 - 1) × π
    0.89404296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.80871882
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198638916015625 × 2 - 1) × π
    0.60272216796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.89350753499222
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80871882} λ = 2.80871882}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89350753499222))-π/2
    2×atan(6.64262711435727)-π/2
    2×1.4213755194095-π/2
    2.84275103881901-1.57079632675     		φ = 1.27195471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80871882} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.927734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27195471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.877637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31032 KachelY 6509 2.80871882 1.27195471 160.927734 72.877637
    Oben rechts KachelX + 1 31033 KachelY 6509 2.80891057 1.27195471 160.938721 72.877637
    Unten links KachelX 31032 KachelY + 1 6510 2.80871882 1.27189825 160.927734 72.874402
    Unten rechts KachelX + 1 31033 KachelY + 1 6510 2.80891057 1.27189825 160.938721 72.874402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27195471-1.27189825) × R
    5.64599999999249e-05 × 6371000     		dl = 359.706659999522m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27195471-1.27189825) × R
    5.64599999999249e-05 × 6371000     		dr = 359.706659999522m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80871882-2.80891057) × cos(1.27195471) × R
    0.000191749999999935 × 0.29441336289249 × 6371000     		do = 359.666919833838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80871882-2.80891057) × cos(1.27189825) × R
    0.000191749999999935 × 0.294467320012895 × 6371000     		du = 359.732835969941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27195471)-sin(1.27189825))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29441336289249-0.294467320012895)×R²
    abs(2.80891057-2.80871882)×5.39571204049016e-05×R²
    0.000191749999999935×5.39571204049016e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.39571204049016e-05×40589641000000     		ar = 129386.441716547m²