Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 31032 / 6502
↖ ↑ ↗
← N 72.900264°
E160.927734°		 ← 359.21 m → N 72.900264°
E160.938721°		 →
↑
359.26 m
↓
↑
359.26 m
↓
N 72.897033°
E160.927734°		 ← 359.27 m →
129 060 m²		 N 72.897033°
E160.938721°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6502 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.947036743164062 y=0.198440551757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.947036743164062 × 215)
    floor (0.947036743164062 × 32768)
    floor (31032.5)     		tx = 31032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198440551757812 × 215)
    floor (0.198440551757812 × 32768)
    floor (6502.5)     		ty = 6502
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 31032 / 6502 ti = "15/31032/6502"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/31032/6502.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31032 ÷ 215
    31032 ÷ 32768     		x = 0.947021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6502 ÷ 215
    6502 ÷ 32768     		y = 0.19842529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.947021484375 × 2 - 1) × π
    0.89404296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.80871882
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19842529296875 × 2 - 1) × π
    0.6031494140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.89484976818158
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80871882} λ = 2.80871882}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89484976818158))-π/2
    2×atan(6.65154905525783)-π/2
    2×1.42157297842494-π/2
    2.84314595684989-1.57079632675     		φ = 1.27234963
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80871882} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.927734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27234963 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.900264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31032 KachelY 6502 2.80871882 1.27234963 160.927734 72.900264
    Oben rechts KachelX + 1 31033 KachelY 6502 2.80891057 1.27234963 160.938721 72.900264
    Unten links KachelX 31032 KachelY + 1 6503 2.80871882 1.27229324 160.927734 72.897033
    Unten rechts KachelX + 1 31033 KachelY + 1 6503 2.80891057 1.27229324 160.938721 72.897033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27234963-1.27229324) × R
    5.63899999999062e-05 × 6371000     		dl = 359.260689999403m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27234963-1.27229324) × R
    5.63899999999062e-05 × 6371000     		dr = 359.260689999403m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80871882-2.80891057) × cos(1.27234963) × R
    0.000191749999999935 × 0.29403592351931 × 6371000     		do = 359.205825081066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80871882-2.80891057) × cos(1.27229324) × R
    0.000191749999999935 × 0.294089820296253 × 6371000     		du = 359.271667499228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27234963)-sin(1.27229324))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29403592351931-0.294089820296253)×R²
    abs(2.80891057-2.80871882)×5.38967769429521e-05×R²
    0.000191749999999935×5.38967769429521e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.38967769429521e-05×40589641000000     		ar = 129060.35990117m²