Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 31032 / 6490
↖ ↑ ↗
← N 72.938985°
E160.927734°		 ← 358.42 m → N 72.938985°
E160.938721°		 →
↑
358.43 m
↓
↑
358.43 m
↓
N 72.935762°
E160.927734°		 ← 358.48 m →
128 480 m²		 N 72.935762°
E160.938721°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.947036743164062 y=0.198074340820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.947036743164062 × 215)
    floor (0.947036743164062 × 32768)
    floor (31032.5)     		tx = 31032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198074340820312 × 215)
    floor (0.198074340820312 × 32768)
    floor (6490.5)     		ty = 6490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 31032 / 6490 ti = "15/31032/6490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/31032/6490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31032 ÷ 215
    31032 ÷ 32768     		x = 0.947021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6490 ÷ 215
    6490 ÷ 32768     		y = 0.19805908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.947021484375 × 2 - 1) × π
    0.89404296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.80871882
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19805908203125 × 2 - 1) × π
    0.6038818359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.89715073936334
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80871882} λ = 2.80871882}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89715073936334))-π/2
    2×atan(6.66687169966923)-π/2
    2×1.42191089077836-π/2
    2.84382178155672-1.57079632675     		φ = 1.27302545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80871882} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.927734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27302545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.938985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31032 KachelY 6490 2.80871882 1.27302545 160.927734 72.938985
    Oben rechts KachelX + 1 31033 KachelY 6490 2.80891057 1.27302545 160.938721 72.938985
    Unten links KachelX 31032 KachelY + 1 6491 2.80871882 1.27296919 160.927734 72.935762
    Unten rechts KachelX + 1 31033 KachelY + 1 6491 2.80891057 1.27296919 160.938721 72.935762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27302545-1.27296919) × R
    5.62600000000302e-05 × 6371000     		dl = 358.432460000192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27302545-1.27296919) × R
    5.62600000000302e-05 × 6371000     		dr = 358.432460000192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80871882-2.80891057) × cos(1.27302545) × R
    0.000191749999999935 × 0.293389911470166 × 6371000     		do = 358.416631405858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80871882-2.80891057) × cos(1.27296919) × R
    0.000191749999999935 × 0.293443695164462 × 6371000     		du = 358.48233567782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27302545)-sin(1.27296919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293389911470166-0.293443695164462)×R²
    abs(2.80891057-2.80871882)×5.37836942958725e-05×R²
    0.000191749999999935×5.37836942958725e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.37836942958725e-05×40589641000000     		ar = 128479.930205691m²