Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31032 / 37322
↖ ↑ ↗
← S 24.256981°
W  9.536133°		 ← 556.92 m → S 24.256981°
W  9.530640°		 →
↑
556.89 m
↓
↑
556.89 m
↓
S 24.261990°
W  9.536133°		 ← 556.90 m →
310 137 m²		 S 24.261990°
W  9.530640°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473518371582031 y=0.569496154785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473518371582031 × 216)
    floor (0.473518371582031 × 65536)
    floor (31032.5)     		tx = 31032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.569496154785156 × 216)
    floor (0.569496154785156 × 65536)
    floor (37322.5)     		ty = 37322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31032 / 37322 ti = "16/31032/37322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31032/37322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31032 ÷ 216
    31032 ÷ 65536     		x = 0.4735107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37322 ÷ 216
    37322 ÷ 65536     		y = 0.569488525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4735107421875 × 2 - 1) × π
    -0.052978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16643692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.569488525390625 × 2 - 1) × π
    -0.13897705078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.436609281739471
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16643692} λ = -0.16643692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.436609281739471))-π/2
    2×atan(0.646223873558323)-π/2
    2×0.573716068124689-π/2
    1.14743213624938-1.57079632675     		φ = -0.42336419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16643692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.536133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.42336419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -24.256981°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31032 KachelY 37322 -0.16643692 -0.42336419 -9.536133 -24.256981
    Oben rechts KachelX + 1 31033 KachelY 37322 -0.16634104 -0.42336419 -9.530640 -24.256981
    Unten links KachelX 31032 KachelY + 1 37323 -0.16643692 -0.42345160 -9.536133 -24.261990
    Unten rechts KachelX + 1 31033 KachelY + 1 37323 -0.16634104 -0.42345160 -9.530640 -24.261990
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.42336419--0.42345160) × R
    8.741000000001e-05 × 6371000     		dl = 556.889110000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.42336419--0.42345160) × R
    8.741000000001e-05 × 6371000     		dr = 556.889110000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16643692--0.16634104) × cos(-0.42336419) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.911711992198895 × 6371000     		do = 556.9206197684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16643692--0.16634104) × cos(-0.42345160) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.911676078070522 × 6371000     		du = 556.898681569931m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.42336419)-sin(-0.42345160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.911711992198895-0.911676078070522)×R²
    abs(-0.16634104--0.16643692)×3.59141283726716e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.59141283726716e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.59141283726716e-05×40589641000000     		ar = 310136.919909037m²