Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31032 / 17240
↖ ↑ ↗
← N 64.567319°
W  9.536133°		 ← 262.33 m → N 64.567319°
W  9.530640°		 →
↑
262.36 m
↓
↑
262.36 m
↓
N 64.564960°
W  9.536133°		 ← 262.35 m →
68 827 m²		 N 64.564960°
W  9.530640°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17240 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473518371582031 y=0.263069152832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473518371582031 × 216)
    floor (0.473518371582031 × 65536)
    floor (31032.5)     		tx = 31032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263069152832031 × 216)
    floor (0.263069152832031 × 65536)
    floor (17240.5)     		ty = 17240
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31032 / 17240 ti = "16/31032/17240"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31032/17240.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31032 ÷ 216
    31032 ÷ 65536     		x = 0.4735107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17240 ÷ 216
    17240 ÷ 65536     		y = 0.2630615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4735107421875 × 2 - 1) × π
    -0.052978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16643692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2630615234375 × 2 - 1) × π
    0.473876953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.48872835460046
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16643692} λ = -0.16643692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48872835460046))-π/2
    2×atan(4.43145669295309)-π/2
    2×1.3488543163423-π/2
    2.69770863268459-1.57079632675     		φ = 1.12691231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16643692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.536133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12691231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.567319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31032 KachelY 17240 -0.16643692 1.12691231 -9.536133 64.567319
    Oben rechts KachelX + 1 31033 KachelY 17240 -0.16634104 1.12691231 -9.530640 64.567319
    Unten links KachelX 31032 KachelY + 1 17241 -0.16643692 1.12687113 -9.536133 64.564960
    Unten rechts KachelX + 1 31033 KachelY + 1 17241 -0.16634104 1.12687113 -9.530640 64.564960
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12691231-1.12687113) × R
    4.1179999999974e-05 × 6371000     		dl = 262.357779999834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12691231-1.12687113) × R
    4.1179999999974e-05 × 6371000     		dr = 262.357779999834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16643692--0.16634104) × cos(1.12691231) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.429450314116585 × 6371000     		do = 262.330359964561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16643692--0.16634104) × cos(1.12687113) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.4294875030187 × 6371000     		du = 262.353076860457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12691231)-sin(1.12687113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429450314116585-0.4294875030187)×R²
    abs(-0.16634104--0.16643692)×3.71889021147376e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.71889021147376e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.71889021147376e-05×40589641000000     		ar = 68827.3908537892m²