Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31029 / 37196
↖ ↑ ↗
← S 23.624395°
W  9.552612°		 ← 559.66 m → S 23.624395°
W  9.547119°		 →
↑
559.63 m
↓
↑
559.63 m
↓
S 23.629427°
W  9.552612°		 ← 559.64 m →
313 194 m²		 S 23.629427°
W  9.547119°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31029 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37196 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473472595214844 y=0.567573547363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473472595214844 × 216)
    floor (0.473472595214844 × 65536)
    floor (31029.5)     		tx = 31029
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.567573547363281 × 216)
    floor (0.567573547363281 × 65536)
    floor (37196.5)     		ty = 37196
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31029 / 37196 ti = "16/31029/37196"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31029/37196.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31029 ÷ 216
    31029 ÷ 65536     		x = 0.473464965820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37196 ÷ 216
    37196 ÷ 65536     		y = 0.56756591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473464965820312 × 2 - 1) × π
    -0.053070068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16672454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56756591796875 × 2 - 1) × π
    -0.1351318359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.424529183035217
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16672454} λ = -0.16672454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.424529183035217))-π/2
    2×atan(0.654077663507243)-π/2
    2×0.579236428887092-π/2
    1.15847285777418-1.57079632675     		φ = -0.41232347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16672454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.552612°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41232347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.624395°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31029 KachelY 37196 -0.16672454 -0.41232347 -9.552612 -23.624395
    Oben rechts KachelX + 1 31030 KachelY 37196 -0.16662866 -0.41232347 -9.547119 -23.624395
    Unten links KachelX 31029 KachelY + 1 37197 -0.16672454 -0.41241131 -9.552612 -23.629427
    Unten rechts KachelX + 1 31030 KachelY + 1 37197 -0.16662866 -0.41241131 -9.547119 -23.629427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41232347--0.41241131) × R
    8.78399999999502e-05 × 6371000     		dl = 559.628639999683m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41232347--0.41241131) × R
    8.78399999999502e-05 × 6371000     		dr = 559.628639999683m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16672454--0.16662866) × cos(-0.41232347) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.916192191291469 × 6371000     		do = 559.657356014794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16672454--0.16662866) × cos(-0.41241131) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.916156986829721 × 6371000     		du = 559.635851317233m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41232347)-sin(-0.41241131))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916192191291469-0.916156986829721)×R²
    abs(-0.16662866--0.16672454)×3.52044617478731e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.52044617478731e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.52044617478731e-05×40589641000000     		ar = 313194.26789127m²