Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 31028 / 6495
↖ ↑ ↗
← N 72.922862°
E160.883789°		 ← 358.75 m → N 72.922862°
E160.894775°		 →
↑
358.75 m
↓
↑
358.75 m
↓
N 72.919636°
E160.883789°		 ← 358.81 m →
128 712 m²		 N 72.919636°
E160.894775°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31028 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6495 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946914672851562 y=0.198226928710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946914672851562 × 215)
    floor (0.946914672851562 × 32768)
    floor (31028.5)     		tx = 31028
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198226928710938 × 215)
    floor (0.198226928710938 × 32768)
    floor (6495.5)     		ty = 6495
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 31028 / 6495 ti = "15/31028/6495"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/31028/6495.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31028 ÷ 215
    31028 ÷ 32768     		x = 0.9468994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6495 ÷ 215
    6495 ÷ 32768     		y = 0.198211669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9468994140625 × 2 - 1) × π
    0.893798828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.80795183
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198211669921875 × 2 - 1) × π
    0.60357666015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.89619200137094
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80795183} λ = 2.80795183}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89619200137094))-π/2
    2×atan(6.66048297952402)-π/2
    2×1.42177018428286-π/2
    2.84354036856571-1.57079632675     		φ = 1.27274404
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80795183} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.883789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27274404 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.922862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31028 KachelY 6495 2.80795183 1.27274404 160.883789 72.922862
    Oben rechts KachelX + 1 31029 KachelY 6495 2.80814358 1.27274404 160.894775 72.922862
    Unten links KachelX 31028 KachelY + 1 6496 2.80795183 1.27268773 160.883789 72.919636
    Unten rechts KachelX + 1 31029 KachelY + 1 6496 2.80814358 1.27268773 160.894775 72.919636
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27274404-1.27268773) × R
    5.63100000001704e-05 × 6371000     		dl = 358.751010001086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27274404-1.27268773) × R
    5.63100000001704e-05 × 6371000     		dr = 358.751010001086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80795183-2.80814358) × cos(1.27274404) × R
    0.000191749999999935 × 0.29365892580203 × 6371000     		do = 358.745269872477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80795183-2.80814358) × cos(1.27268773) × R
    0.000191749999999935 × 0.293712752643472 × 6371000     		du = 358.811026854685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27274404)-sin(1.27268773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29365892580203-0.293712752643472)×R²
    abs(2.80814358-2.80795183)×5.38268414412291e-05×R²
    0.000191749999999935×5.38268414412291e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.38268414412291e-05×40589641000000     		ar = 128712.02312577m²