Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31028 / 17218
↖ ↑ ↗
← N 64.619168°
W  9.558105°		 ← 261.80 m → N 64.619168°
W  9.552612°		 →
↑
261.85 m
↓
↑
261.85 m
↓
N 64.616814°
W  9.558105°		 ← 261.83 m →
68 556 m²		 N 64.616814°
W  9.552612°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31028 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473457336425781 y=0.262733459472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473457336425781 × 216)
    floor (0.473457336425781 × 65536)
    floor (31028.5)     		tx = 31028
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262733459472656 × 216)
    floor (0.262733459472656 × 65536)
    floor (17218.5)     		ty = 17218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31028 / 17218 ti = "16/31028/17218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31028/17218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31028 ÷ 216
    31028 ÷ 65536     		x = 0.47344970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17218 ÷ 216
    17218 ÷ 65536     		y = 0.262725830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47344970703125 × 2 - 1) × π
    -0.0531005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16682041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262725830078125 × 2 - 1) × π
    0.47454833984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.49083757818375
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16682041} λ = -0.16682041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49083757818375))-π/2
    2×atan(4.44081349023802)-π/2
    2×1.34930678857373-π/2
    2.69861357714745-1.57079632675     		φ = 1.12781725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16682041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.558105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12781725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.619168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31028 KachelY 17218 -0.16682041 1.12781725 -9.558105 64.619168
    Oben rechts KachelX + 1 31029 KachelY 17218 -0.16672454 1.12781725 -9.552612 64.619168
    Unten links KachelX 31028 KachelY + 1 17219 -0.16682041 1.12777615 -9.558105 64.616814
    Unten rechts KachelX + 1 31029 KachelY + 1 17219 -0.16672454 1.12777615 -9.552612 64.616814
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12781725-1.12777615) × R
    4.11000000000161e-05 × 6371000     		dl = 261.848100000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12781725-1.12777615) × R
    4.11000000000161e-05 × 6371000     		dr = 261.848100000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16682041--0.16672454) × cos(1.12781725) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.428632895680883 × 6371000     		do = 261.803730501563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16682041--0.16672454) × cos(1.12777615) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.428670028295222 × 6371000     		du = 261.82641064827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12781725)-sin(1.12777615))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428632895680883-0.428670028295222)×R²
    abs(-0.16672454--0.16682041)×3.7132614339741e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.7132614339741e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.7132614339741e-05×40589641000000     		ar = 68555.7787911908m²