Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31027 / 17567
↖ ↑ ↗
← N 63.784913°
W  9.563598°		 ← 269.81 m → N 63.784913°
W  9.558105°		 →
↑
269.81 m
↓
↑
269.81 m
↓
N 63.782486°
W  9.563598°		 ← 269.83 m →
72 801 m²		 N 63.782486°
W  9.558105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31027 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473442077636719 y=0.268058776855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473442077636719 × 216)
    floor (0.473442077636719 × 65536)
    floor (31027.5)     		tx = 31027
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.268058776855469 × 216)
    floor (0.268058776855469 × 65536)
    floor (17567.5)     		ty = 17567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31027 / 17567 ti = "16/31027/17567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31027/17567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31027 ÷ 216
    31027 ÷ 65536     		x = 0.473434448242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17567 ÷ 216
    17567 ÷ 65536     		y = 0.268051147460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473434448242188 × 2 - 1) × π
    -0.053131103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16691628
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.268051147460938 × 2 - 1) × π
    0.463897705078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.45737762224895
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16691628} λ = -0.16691628}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45737762224895))-π/2
    2×atan(4.29468246869886)-π/2
    2×1.34202653322153-π/2
    2.68405306644305-1.57079632675     		φ = 1.11325674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16691628} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.563598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11325674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.784913°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31027 KachelY 17567 -0.16691628 1.11325674 -9.563598 63.784913
    Oben rechts KachelX + 1 31028 KachelY 17567 -0.16682041 1.11325674 -9.558105 63.784913
    Unten links KachelX 31027 KachelY + 1 17568 -0.16691628 1.11321439 -9.563598 63.782486
    Unten rechts KachelX + 1 31028 KachelY + 1 17568 -0.16682041 1.11321439 -9.558105 63.782486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11325674-1.11321439) × R
    4.23499999999688e-05 × 6371000     		dl = 269.811849999801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11325674-1.11321439) × R
    4.23499999999688e-05 × 6371000     		dr = 269.811849999801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16691628--0.16682041) × cos(1.11325674) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.4417421060437 × 6371000     		do = 269.810675865529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16691628--0.16682041) × cos(1.11321439) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.44178009961464 × 6371000     		du = 269.833881873998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11325674)-sin(1.11321439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.4417421060437-0.44178009961464)×R²
    abs(-0.16682041--0.16691628)×3.799357094042e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.799357094042e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.799357094042e-05×40589641000000     		ar = 72801.2482442679m²