Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31026 / 17222
↖ ↑ ↗
← N 64.609748°
W  9.569092°		 ← 261.92 m → N 64.609748°
W  9.563598°		 →
↑
261.91 m
↓
↑
261.91 m
↓
N 64.607393°
W  9.569092°		 ← 261.94 m →
68 603 m²		 N 64.607393°
W  9.563598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31026 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473426818847656 y=0.262794494628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473426818847656 × 216)
    floor (0.473426818847656 × 65536)
    floor (31026.5)     		tx = 31026
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262794494628906 × 216)
    floor (0.262794494628906 × 65536)
    floor (17222.5)     		ty = 17222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31026 / 17222 ti = "16/31026/17222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31026/17222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31026 ÷ 216
    31026 ÷ 65536     		x = 0.473419189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17222 ÷ 216
    17222 ÷ 65536     		y = 0.262786865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473419189453125 × 2 - 1) × π
    -0.05316162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16701216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262786865234375 × 2 - 1) × π
    0.47442626953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.49045408298679
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16701216} λ = -0.16701216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49045408298679))-π/2
    2×atan(4.43911078610421)-π/2
    2×1.34922458500567-π/2
    2.69844917001133-1.57079632675     		φ = 1.12765284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16701216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.569092°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12765284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.609748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31026 KachelY 17222 -0.16701216 1.12765284 -9.569092 64.609748
    Oben rechts KachelX + 1 31027 KachelY 17222 -0.16691628 1.12765284 -9.563598 64.609748
    Unten links KachelX 31026 KachelY + 1 17223 -0.16701216 1.12761173 -9.569092 64.607393
    Unten rechts KachelX + 1 31027 KachelY + 1 17223 -0.16691628 1.12761173 -9.563598 64.607393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12765284-1.12761173) × R
    4.11100000001774e-05 × 6371000     		dl = 261.91181000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12765284-1.12761173) × R
    4.11100000001774e-05 × 6371000     		dr = 261.91181000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16701216--0.16691628) × cos(1.12765284) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.428781430827391 × 6371000     		do = 261.921771617409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16701216--0.16691628) × cos(1.12761173) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.42881856957863 × 6371000     		du = 261.944457878569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12765284)-sin(1.12761173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428781430827391-0.42881856957863)×R²
    abs(-0.16691628--0.16701216)×3.71387512388965e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.71387512388965e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.71387512388965e-05×40589641000000     		ar = 68603.3761923613m²