Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 31023 / 6505
↖ ↑ ↗
← N 72.890570°
E160.828857°		 ← 359.40 m → N 72.890570°
E160.839844°		 →
↑
359.45 m
↓
↑
359.45 m
↓
N 72.887337°
E160.828857°		 ← 359.47 m →
129 200 m²		 N 72.887337°
E160.839844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946762084960938 y=0.198532104492188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946762084960938 × 215)
    floor (0.946762084960938 × 32768)
    floor (31023.5)     		tx = 31023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198532104492188 × 215)
    floor (0.198532104492188 × 32768)
    floor (6505.5)     		ty = 6505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 31023 / 6505 ti = "15/31023/6505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/31023/6505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31023 ÷ 215
    31023 ÷ 32768     		x = 0.946746826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6505 ÷ 215
    6505 ÷ 32768     		y = 0.198516845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.946746826171875 × 2 - 1) × π
    0.89349365234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.80699309
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198516845703125 × 2 - 1) × π
    0.60296630859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.89427452538614
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80699309} λ = 2.80699309}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89427452538614))-π/2
    2×atan(6.64772389988729)-π/2
    2×1.42148838414864-π/2
    2.84297676829728-1.57079632675     		φ = 1.27218044
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80699309} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.828857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27218044 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.890570°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31023 KachelY 6505 2.80699309 1.27218044 160.828857 72.890570
    Oben rechts KachelX + 1 31024 KachelY 6505 2.80718484 1.27218044 160.839844 72.890570
    Unten links KachelX 31023 KachelY + 1 6506 2.80699309 1.27212402 160.828857 72.887337
    Unten rechts KachelX + 1 31024 KachelY + 1 6506 2.80718484 1.27212402 160.839844 72.887337
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27218044-1.27212402) × R
    5.6420000000168e-05 × 6371000     		dl = 359.45182000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27218044-1.27212402) × R
    5.6420000000168e-05 × 6371000     		dr = 359.45182000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80699309-2.80718484) × cos(1.27218044) × R
    0.000191749999999935 × 0.294197630159391 × 6371000     		do = 359.403372259574m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80699309-2.80718484) × cos(1.27212402) × R
    0.000191749999999935 × 0.29425155280186 × 6371000     		du = 359.469246276078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27218044)-sin(1.27212402))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.294197630159391-0.29425155280186)×R²
    abs(2.80718484-2.80699309)×5.39226424688399e-05×R²
    0.000191749999999935×5.39226424688399e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.39226424688399e-05×40589641000000     		ar = 129200.035575771m²