Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31023 / 13999
↖ ↑ ↗
← N 71.217844°
W  9.585571°		 ← 196.66 m → N 71.217844°
W  9.580078°		 →
↑
196.67 m
↓
↑
196.67 m
↓
N 71.216075°
W  9.585571°		 ← 196.67 m →
38 679 m²		 N 71.216075°
W  9.580078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13999 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473381042480469 y=0.213615417480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473381042480469 × 216)
    floor (0.473381042480469 × 65536)
    floor (31023.5)     		tx = 31023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.213615417480469 × 216)
    floor (0.213615417480469 × 65536)
    floor (13999.5)     		ty = 13999
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31023 / 13999 ti = "16/31023/13999"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31023/13999.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31023 ÷ 216
    31023 ÷ 65536     		x = 0.473373413085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13999 ÷ 216
    13999 ÷ 65536     		y = 0.213607788085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473373413085938 × 2 - 1) × π
    -0.053253173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16729978
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.213607788085938 × 2 - 1) × π
    0.572784423828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.79945533793767
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16729978} λ = -0.16729978}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79945533793767))-π/2
    2×atan(6.04635334812012)-π/2
    2×1.40689109524395-π/2
    2.81378219048791-1.57079632675     		φ = 1.24298586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16729978} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.585571°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24298586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.217844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31023 KachelY 13999 -0.16729978 1.24298586 -9.585571 71.217844
    Oben rechts KachelX + 1 31024 KachelY 13999 -0.16720391 1.24298586 -9.580078 71.217844
    Unten links KachelX 31023 KachelY + 1 14000 -0.16729978 1.24295499 -9.585571 71.216075
    Unten rechts KachelX + 1 31024 KachelY + 1 14000 -0.16720391 1.24295499 -9.580078 71.216075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24298586-1.24295499) × R
    3.08700000000162e-05 × 6371000     		dl = 196.672770000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24298586-1.24295499) × R
    3.08700000000162e-05 × 6371000     		dr = 196.672770000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16729978--0.16720391) × cos(1.24298586) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.321970862185493 × 6371000     		do = 196.65586491925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16729978--0.16720391) × cos(1.24295499) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.322000088191557 × 6371000     		du = 196.67371580632m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24298586)-sin(1.24295499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321970862185493-0.322000088191557)×R²
    abs(-0.16720391--0.16729978)×2.92260060635319e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.92260060635319e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.92260060635319e-05×40589641000000     		ar = 38678.6090852978m²