Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31022 / 19670
↖ ↑ ↗
← N 58.199661°
W  9.591064°		 ← 321.86 m → N 58.199661°
W  9.585571°		 →
↑
321.86 m
↓
↑
321.86 m
↓
N 58.196767°
W  9.591064°		 ← 321.89 m →
103 599 m²		 N 58.196767°
W  9.585571°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31022 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473365783691406 y=0.300148010253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473365783691406 × 216)
    floor (0.473365783691406 × 65536)
    floor (31022.5)     		tx = 31022
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300148010253906 × 216)
    floor (0.300148010253906 × 65536)
    floor (19670.5)     		ty = 19670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31022 / 19670 ti = "16/31022/19670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31022/19670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31022 ÷ 216
    31022 ÷ 65536     		x = 0.473358154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19670 ÷ 216
    19670 ÷ 65536     		y = 0.300140380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473358154296875 × 2 - 1) × π
    -0.05328369140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16739565
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300140380859375 × 2 - 1) × π
    0.39971923828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.25575502244699
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16739565} λ = -0.16739565}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25575502244699))-π/2
    2×atan(3.51048787114454)-π/2
    2×1.29328601826865-π/2
    2.58657203653729-1.57079632675     		φ = 1.01577571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16739565} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.591064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01577571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.199661°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31022 KachelY 19670 -0.16739565 1.01577571 -9.591064 58.199661
    Oben rechts KachelX + 1 31023 KachelY 19670 -0.16729978 1.01577571 -9.585571 58.199661
    Unten links KachelX 31022 KachelY + 1 19671 -0.16739565 1.01572519 -9.591064 58.196767
    Unten rechts KachelX + 1 31023 KachelY + 1 19671 -0.16729978 1.01572519 -9.585571 58.196767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01577571-1.01572519) × R
    5.05200000000539e-05 × 6371000     		dl = 321.862920000343m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01577571-1.01572519) × R
    5.05200000000539e-05 × 6371000     		dr = 321.862920000343m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16739565--0.16729978) × cos(1.01577571) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.52696082231437 × 6371000     		do = 321.861225538754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16739565--0.16729978) × cos(1.01572519) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.527003758063269 × 6371000     		du = 321.887450169077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01577571)-sin(1.01572519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.52696082231437-0.527003758063269)×R²
    abs(-0.16729978--0.16739565)×4.2935748898576e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.2935748898576e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.2935748898576e-05×40589641000000     		ar = 103599.414276728m²