Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31021 / 19671
↖ ↑ ↗
← N 58.196767°
W  9.596558°		 ← 321.92 m → N 58.196767°
W  9.591064°		 →
↑
321.93 m
↓
↑
321.93 m
↓
N 58.193871°
W  9.596558°		 ← 321.95 m →
103 639 m²		 N 58.193871°
W  9.591064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19671 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473350524902344 y=0.300163269042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473350524902344 × 216)
    floor (0.473350524902344 × 65536)
    floor (31021.5)     		tx = 31021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300163269042969 × 216)
    floor (0.300163269042969 × 65536)
    floor (19671.5)     		ty = 19671
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31021 / 19671 ti = "16/31021/19671"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31021/19671.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31021 ÷ 216
    31021 ÷ 65536     		x = 0.473342895507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19671 ÷ 216
    19671 ÷ 65536     		y = 0.300155639648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473342895507812 × 2 - 1) × π
    -0.053314208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16749153
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300155639648438 × 2 - 1) × π
    0.399688720703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.25565914864775
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16749153} λ = -0.16749153}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25565914864775))-π/2
    2×atan(3.51015132346846)-π/2
    2×1.29326075637142-π/2
    2.58652151274284-1.57079632675     		φ = 1.01572519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16749153} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.596558°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01572519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.196767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31021 KachelY 19671 -0.16749153 1.01572519 -9.596558 58.196767
    Oben rechts KachelX + 1 31022 KachelY 19671 -0.16739565 1.01572519 -9.591064 58.196767
    Unten links KachelX 31021 KachelY + 1 19672 -0.16749153 1.01567466 -9.596558 58.193871
    Unten rechts KachelX + 1 31022 KachelY + 1 19672 -0.16739565 1.01567466 -9.591064 58.193871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01572519-1.01567466) × R
    5.05299999999931e-05 × 6371000     		dl = 321.926629999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01572519-1.01567466) × R
    5.05299999999931e-05 × 6371000     		dr = 321.926629999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16749153--0.16739565) × cos(1.01572519) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.527003758063269 × 6371000     		do = 321.921025578485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16749153--0.16739565) × cos(1.01567466) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.527046700965475 × 6371000     		du = 321.947257313853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01572519)-sin(1.01567466))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.527003758063269-0.527046700965475)×R²
    abs(-0.16739565--0.16749153)×4.29429022056338e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.29429022056338e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.29429022056338e-05×40589641000000     		ar = 103639.173259974m²