Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3102 / 7139
↖ ↑ ↗
← N 22.532854°
W111.840820°		 ← 2 256.70 m → N 22.532854°
W111.818848°		 →
↑
2 256.93 m
↓
↑
2 256.93 m
↓
N 22.512557°
W111.840820°		 ← 2 257.03 m →
5 093 580 m²		 N 22.512557°
W111.818848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3102 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.189361572265625 y=0.435760498046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.189361572265625 × 214)
    floor (0.189361572265625 × 16384)
    floor (3102.5)     		tx = 3102
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.435760498046875 × 214)
    floor (0.435760498046875 × 16384)
    floor (7139.5)     		ty = 7139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3102 / 7139 ti = "14/3102/7139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3102/7139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3102 ÷ 214
    3102 ÷ 16384     		x = 0.1893310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7139 ÷ 214
    7139 ÷ 16384     		y = 0.43572998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1893310546875 × 2 - 1) × π
    -0.621337890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.95199055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43572998046875 × 2 - 1) × π
    0.1285400390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.403820442399353
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.95199055} λ = -1.95199055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.403820442399353))-π/2
    2×atan(1.49753502901904)-π/2
    2×0.982034406925398-π/2
    1.9640688138508-1.57079632675     		φ = 0.39327249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.95199055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -111.840820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.39327249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.532854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3102 KachelY 7139 -1.95199055 0.39327249 -111.840820 22.532854
    Oben rechts KachelX + 1 3103 KachelY 7139 -1.95160706 0.39327249 -111.818848 22.532854
    Unten links KachelX 3102 KachelY + 1 7140 -1.95199055 0.39291824 -111.840820 22.512557
    Unten rechts KachelX + 1 3103 KachelY + 1 7140 -1.95160706 0.39291824 -111.818848 22.512557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.39327249-0.39291824) × R
    0.00035425 × 6371000     		dl = 2256.92675m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.39327249-0.39291824) × R
    0.00035425 × 6371000     		dr = 2256.92675m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.95199055--1.95160706) × cos(0.39327249) × R
    0.000383490000000153 × 0.923659946781991 × 6371000     		do = 2256.69964290927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.95199055--1.95160706) × cos(0.39291824) × R
    0.000383490000000153 × 0.923795642073861 × 6371000     		du = 2257.0311756533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.39327249)-sin(0.39291824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.923659946781991-0.923795642073861)×R²
    abs(-1.95160706--1.95199055)×0.000135695291870186×R²
    0.000383490000000153×0.000135695291870186×6371000²
    0.000383490000000153×0.000135695291870186×40589641000000     		ar = 5093579.96662356m²