Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 31018 / 6522
↖ ↑ ↗
← N 72.835538°
E160.773926°		 ← 360.51 m → N 72.835538°
E160.784912°		 →
↑
360.60 m
↓
↑
360.60 m
↓
N 72.832295°
E160.773926°		 ← 360.57 m →
130 010 m²		 N 72.832295°
E160.784912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31018 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6522 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946609497070312 y=0.199050903320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946609497070312 × 215)
    floor (0.946609497070312 × 32768)
    floor (31018.5)     		tx = 31018
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.199050903320312 × 215)
    floor (0.199050903320312 × 32768)
    floor (6522.5)     		ty = 6522
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 31018 / 6522 ti = "15/31018/6522"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/31018/6522.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31018 ÷ 215
    31018 ÷ 32768     		x = 0.94659423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6522 ÷ 215
    6522 ÷ 32768     		y = 0.19903564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94659423828125 × 2 - 1) × π
    0.8931884765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.80603436
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19903564453125 × 2 - 1) × π
    0.6019287109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.89101481621198
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80603436} λ = 2.80603436}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89101481621198))-π/2
    2×atan(6.62608953333178)-π/2
    2×1.42100813716346-π/2
    2.84201627432692-1.57079632675     		φ = 1.27121995
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80603436} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.773926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27121995 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.835538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31018 KachelY 6522 2.80603436 1.27121995 160.773926 72.835538
    Oben rechts KachelX + 1 31019 KachelY 6522 2.80622610 1.27121995 160.784912 72.835538
    Unten links KachelX 31018 KachelY + 1 6523 2.80603436 1.27116335 160.773926 72.832295
    Unten rechts KachelX + 1 31019 KachelY + 1 6523 2.80622610 1.27116335 160.784912 72.832295
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27121995-1.27116335) × R
    5.66000000001843e-05 × 6371000     		dl = 360.598600001174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27121995-1.27116335) × R
    5.66000000001843e-05 × 6371000     		dr = 360.598600001174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80603436-2.80622610) × cos(1.27121995) × R
    0.000191739999999996 × 0.29511547745144 × 6371000     		do = 360.505848730093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80603436-2.80622610) × cos(1.27116335) × R
    0.000191739999999996 × 0.295169556104843 × 6371000     		du = 360.571909890327m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27121995)-sin(1.27116335))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29511547745144-0.295169556104843)×R²
    abs(2.80622610-2.80603436)×5.40786534033999e-05×R²
    0.000191739999999996×5.40786534033999e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.40786534033999e-05×40589641000000     		ar = 130009.815159719m²