Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 31016 / 6504
↖ ↑ ↗
← N 72.893802°
E160.751953°		 ← 359.34 m → N 72.893802°
E160.762940°		 →
↑
359.39 m
↓
↑
359.39 m
↓
N 72.890570°
E160.751953°		 ← 359.40 m →
129 153 m²		 N 72.890570°
E160.762940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946548461914062 y=0.198501586914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946548461914062 × 215)
    floor (0.946548461914062 × 32768)
    floor (31016.5)     		tx = 31016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198501586914062 × 215)
    floor (0.198501586914062 × 32768)
    floor (6504.5)     		ty = 6504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 31016 / 6504 ti = "15/31016/6504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/31016/6504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31016 ÷ 215
    31016 ÷ 32768     		x = 0.946533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6504 ÷ 215
    6504 ÷ 32768     		y = 0.198486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.946533203125 × 2 - 1) × π
    0.89306640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.80565086
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198486328125 × 2 - 1) × π
    0.60302734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.89446627298462
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80565086} λ = 2.80565086}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89446627298462))-π/2
    2×atan(6.64899870719716)-π/2
    2×1.42151658740865-π/2
    2.8430331748173-1.57079632675     		φ = 1.27223685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80565086} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.751953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27223685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.893802°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31016 KachelY 6504 2.80565086 1.27223685 160.751953 72.893802
    Oben rechts KachelX + 1 31017 KachelY 6504 2.80584261 1.27223685 160.762940 72.893802
    Unten links KachelX 31016 KachelY + 1 6505 2.80565086 1.27218044 160.751953 72.890570
    Unten rechts KachelX + 1 31017 KachelY + 1 6505 2.80584261 1.27218044 160.762940 72.890570
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27223685-1.27218044) × R
    5.64100000000067e-05 × 6371000     		dl = 359.388110000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27223685-1.27218044) × R
    5.64100000000067e-05 × 6371000     		dr = 359.388110000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80565086-2.80584261) × cos(1.27223685) × R
    0.000191749999999935 × 0.29414371613804 × 6371000     		do = 359.337508774966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80565086-2.80584261) × cos(1.27218044) × R
    0.000191749999999935 × 0.294197630159391 × 6371000     		du = 359.403372259574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27223685)-sin(1.27218044))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29414371613804-0.294197630159391)×R²
    abs(2.80584261-2.80565086)×5.39140213513534e-05×R²
    0.000191749999999935×5.39140213513534e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.39140213513534e-05×40589641000000     		ar = 129153.463440931m²