Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 31015 / 6488
↖ ↑ ↗
← N 72.945431°
E160.740967°		 ← 358.29 m → N 72.945431°
E160.751953°		 →
↑
358.31 m
↓
↑
358.31 m
↓
N 72.942209°
E160.740967°		 ← 358.35 m →
128 387 m²		 N 72.942209°
E160.751953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946517944335938 y=0.198013305664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946517944335938 × 215)
    floor (0.946517944335938 × 32768)
    floor (31015.5)     		tx = 31015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198013305664062 × 215)
    floor (0.198013305664062 × 32768)
    floor (6488.5)     		ty = 6488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 31015 / 6488 ti = "15/31015/6488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/31015/6488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31015 ÷ 215
    31015 ÷ 32768     		x = 0.946502685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6488 ÷ 215
    6488 ÷ 32768     		y = 0.197998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.946502685546875 × 2 - 1) × π
    0.89300537109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.80545911
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.197998046875 × 2 - 1) × π
    0.60400390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.8975342345603
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80545911} λ = 2.80545911}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8975342345603))-π/2
    2×atan(6.66942890325111)-π/2
    2×1.42196713727717-π/2
    2.84393427455435-1.57079632675     		φ = 1.27313795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80545911} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.740967°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27313795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.945431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31015 KachelY 6488 2.80545911 1.27313795 160.740967 72.945431
    Oben rechts KachelX + 1 31016 KachelY 6488 2.80565086 1.27313795 160.751953 72.945431
    Unten links KachelX 31015 KachelY + 1 6489 2.80545911 1.27308171 160.740967 72.942209
    Unten rechts KachelX + 1 31016 KachelY + 1 6489 2.80565086 1.27308171 160.751953 72.942209
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27313795-1.27308171) × R
    5.62399999999297e-05 × 6371000     		dl = 358.305039999552m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27313795-1.27308171) × R
    5.62399999999297e-05 × 6371000     		dr = 358.305039999552m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80545911-2.80565086) × cos(1.27313795) × R
    0.000191749999999935 × 0.29328236041636 × 6371000     		do = 358.28524281715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80545911-2.80565086) × cos(1.27308171) × R
    0.000191749999999935 × 0.293336126847236 × 6371000     		du = 358.350925999441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27313795)-sin(1.27308171))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.29328236041636-0.293336126847236)×R²
    abs(2.80565086-2.80545911)×5.37664308764008e-05×R²
    0.000191749999999935×5.37664308764008e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.37664308764008e-05×40589641000000     		ar = 128387.175600771m²