Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 31014 / 6490
↖ ↑ ↗
← N 72.938985°
E160.729981°		 ← 358.40 m → N 72.938985°
E160.740967°		 →
↑
358.43 m
↓
↑
358.43 m
↓
N 72.935762°
E160.729981°		 ← 358.46 m →
128 473 m²		 N 72.935762°
E160.740967°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31014 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946487426757812 y=0.198074340820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946487426757812 × 215)
    floor (0.946487426757812 × 32768)
    floor (31014.5)     		tx = 31014
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198074340820312 × 215)
    floor (0.198074340820312 × 32768)
    floor (6490.5)     		ty = 6490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 31014 / 6490 ti = "15/31014/6490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/31014/6490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31014 ÷ 215
    31014 ÷ 32768     		x = 0.94647216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6490 ÷ 215
    6490 ÷ 32768     		y = 0.19805908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.94647216796875 × 2 - 1) × π
    0.8929443359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.80526737
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19805908203125 × 2 - 1) × π
    0.6038818359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.89715073936334
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80526737} λ = 2.80526737}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89715073936334))-π/2
    2×atan(6.66687169966923)-π/2
    2×1.42191089077836-π/2
    2.84382178155672-1.57079632675     		φ = 1.27302545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80526737} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.729981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27302545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.938985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31014 KachelY 6490 2.80526737 1.27302545 160.729981 72.938985
    Oben rechts KachelX + 1 31015 KachelY 6490 2.80545911 1.27302545 160.740967 72.938985
    Unten links KachelX 31014 KachelY + 1 6491 2.80526737 1.27296919 160.729981 72.935762
    Unten rechts KachelX + 1 31015 KachelY + 1 6491 2.80545911 1.27296919 160.740967 72.935762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27302545-1.27296919) × R
    5.62600000000302e-05 × 6371000     		dl = 358.432460000192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27302545-1.27296919) × R
    5.62600000000302e-05 × 6371000     		dr = 358.432460000192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80526737-2.80545911) × cos(1.27302545) × R
    0.000191739999999996 × 0.293389911470166 × 6371000     		do = 358.397939534712m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80526737-2.80545911) × cos(1.27296919) × R
    0.000191739999999996 × 0.293443695164462 × 6371000     		du = 358.463640380115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27302545)-sin(1.27296919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293389911470166-0.293443695164462)×R²
    abs(2.80545911-2.80526737)×5.37836942958725e-05×R²
    0.000191739999999996×5.37836942958725e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.37836942958725e-05×40589641000000     		ar = 128473.229818238m²