Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 31011 / 6486
↖ ↑ ↗
← N 72.951874°
E160.697021°		 ← 358.15 m → N 72.951874°
E160.708008°		 →
↑
358.18 m
↓
↑
358.18 m
↓
N 72.948653°
E160.697021°		 ← 358.22 m →
128 294 m²		 N 72.948653°
E160.708008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31011 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6486 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946395874023438 y=0.197952270507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946395874023438 × 215)
    floor (0.946395874023438 × 32768)
    floor (31011.5)     		tx = 31011
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197952270507812 × 215)
    floor (0.197952270507812 × 32768)
    floor (6486.5)     		ty = 6486
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 31011 / 6486 ti = "15/31011/6486"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/31011/6486.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31011 ÷ 215
    31011 ÷ 32768     		x = 0.946380615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6486 ÷ 215
    6486 ÷ 32768     		y = 0.19793701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.946380615234375 × 2 - 1) × π
    0.89276123046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.80469212
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19793701171875 × 2 - 1) × π
    0.6041259765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.89791772975726
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80469212} λ = 2.80469212}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89791772975726))-π/2
    2×atan(6.67198708769635)-π/2
    2×1.42202336315804-π/2
    2.84404672631608-1.57079632675     		φ = 1.27325040
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80469212} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.697021°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27325040 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.951874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31011 KachelY 6486 2.80469212 1.27325040 160.697021 72.951874
    Oben rechts KachelX + 1 31012 KachelY 6486 2.80488387 1.27325040 160.708008 72.951874
    Unten links KachelX 31011 KachelY + 1 6487 2.80469212 1.27319418 160.697021 72.948653
    Unten rechts KachelX + 1 31012 KachelY + 1 6487 2.80488387 1.27319418 160.708008 72.948653
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27325040-1.27319418) × R
    5.62200000000512e-05 × 6371000     		dl = 358.177620000326m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27325040-1.27319418) × R
    5.62200000000512e-05 × 6371000     		dr = 358.177620000326m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80469212-2.80488387) × cos(1.27325040) × R
    0.000191749999999935 × 0.293174853453641 × 6371000     		do = 358.153908091844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80469212-2.80488387) × cos(1.27319418) × R
    0.000191749999999935 × 0.293228602618273 × 6371000     		du = 358.219570181013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27325040)-sin(1.27319418))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293174853453641-0.293228602618273)×R²
    abs(2.80488387-2.80469212)×5.37491646322996e-05×R²
    0.000191749999999935×5.37491646322996e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.37491646322996e-05×40589641000000     		ar = 128294.473772962m²