Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 31011 / 6484
↖ ↑ ↗
← N 72.958315°
E160.697021°		 ← 358.02 m → N 72.958315°
E160.708008°		 →
↑
358.05 m
↓
↑
358.05 m
↓
N 72.955095°
E160.697021°		 ← 358.09 m →
128 202 m²		 N 72.955095°
E160.708008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31011 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946395874023438 y=0.197891235351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946395874023438 × 215)
    floor (0.946395874023438 × 32768)
    floor (31011.5)     		tx = 31011
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197891235351562 × 215)
    floor (0.197891235351562 × 32768)
    floor (6484.5)     		ty = 6484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 31011 / 6484 ti = "15/31011/6484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/31011/6484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31011 ÷ 215
    31011 ÷ 32768     		x = 0.946380615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6484 ÷ 215
    6484 ÷ 32768     		y = 0.1978759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.946380615234375 × 2 - 1) × π
    0.89276123046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.80469212
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1978759765625 × 2 - 1) × π
    0.604248046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.89830122495422
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80469212} λ = 2.80469212}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89830122495422))-π/2
    2×atan(6.67454625338117)-π/2
    2×1.4220795684278-π/2
    2.8441591368556-1.57079632675     		φ = 1.27336281
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80469212} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.697021°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27336281 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.958315°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31011 KachelY 6484 2.80469212 1.27336281 160.697021 72.958315
    Oben rechts KachelX + 1 31012 KachelY 6484 2.80488387 1.27336281 160.708008 72.958315
    Unten links KachelX 31011 KachelY + 1 6485 2.80469212 1.27330661 160.697021 72.955095
    Unten rechts KachelX + 1 31012 KachelY + 1 6485 2.80488387 1.27330661 160.708008 72.955095
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27336281-1.27330661) × R
    5.62000000001728e-05 × 6371000     		dl = 358.050200001101m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27336281-1.27330661) × R
    5.62000000001728e-05 × 6371000     		dr = 358.050200001101m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80469212-2.80488387) × cos(1.27336281) × R
    0.000191749999999935 × 0.293067381027397 × 6371000     		do = 358.022615557652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80469212-2.80488387) × cos(1.27330661) × R
    0.000191749999999935 × 0.293121112923127 × 6371000     		du = 358.088256550453m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27336281)-sin(1.27330661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293067381027397-0.293121112923127)×R²
    abs(2.80488387-2.80469212)×5.37318957306576e-05×R²
    0.000191749999999935×5.37318957306576e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.37318957306576e-05×40589641000000     		ar = 128201.820524498m²