Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31011 / 19787
↖ ↑ ↗
← N 57.859366°
W  9.651490°		 ← 324.97 m → N 57.859366°
W  9.645996°		 →
↑
324.98 m
↓
↑
324.98 m
↓
N 57.856443°
W  9.651490°		 ← 325 m →
105 615 m²		 N 57.856443°
W  9.645996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31011 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19787 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473197937011719 y=0.301933288574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473197937011719 × 216)
    floor (0.473197937011719 × 65536)
    floor (31011.5)     		tx = 31011
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301933288574219 × 216)
    floor (0.301933288574219 × 65536)
    floor (19787.5)     		ty = 19787
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31011 / 19787 ti = "16/31011/19787"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31011/19787.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31011 ÷ 216
    31011 ÷ 65536     		x = 0.473190307617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19787 ÷ 216
    19787 ÷ 65536     		y = 0.301925659179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473190307617188 × 2 - 1) × π
    -0.053619384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16845027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301925659179688 × 2 - 1) × π
    0.396148681640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.2445377879359
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16845027} λ = -0.16845027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2445377879359))-π/2
    2×atan(3.47132993789646)-π/2
    2×1.29031638114741-π/2
    2.58063276229483-1.57079632675     		φ = 1.00983644
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16845027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.651490°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00983644 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.859366°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31011 KachelY 19787 -0.16845027 1.00983644 -9.651490 57.859366
    Oben rechts KachelX + 1 31012 KachelY 19787 -0.16835439 1.00983644 -9.645996 57.859366
    Unten links KachelX 31011 KachelY + 1 19788 -0.16845027 1.00978543 -9.651490 57.856443
    Unten rechts KachelX + 1 31012 KachelY + 1 19788 -0.16835439 1.00978543 -9.645996 57.856443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00983644-1.00978543) × R
    5.10099999999625e-05 × 6371000     		dl = 324.984709999761m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00983644-1.00978543) × R
    5.10099999999625e-05 × 6371000     		dr = 324.984709999761m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16845027--0.16835439) × cos(1.00983644) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.531999222076108 × 6371000     		do = 324.972512164109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16845027--0.16835439) × cos(1.00978543) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.532042413838351 × 6371000     		du = 324.998895915999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00983644)-sin(1.00978543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.531999222076108-0.532042413838351)×R²
    abs(-0.16835439--0.16845027)×4.31917622431e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.31917622431e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.31917622431e-05×40589641000000     		ar = 105615.384804194m²