Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31011 / 17096
↖ ↑ ↗
← N 64.904910°
W  9.651490°		 ← 259.08 m → N 64.904910°
W  9.645996°		 →
↑
259.04 m
↓
↑
259.04 m
↓
N 64.902580°
W  9.651490°		 ← 259.10 m →
67 115 m²		 N 64.902580°
W  9.645996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31011 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473197937011719 y=0.260871887207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473197937011719 × 216)
    floor (0.473197937011719 × 65536)
    floor (31011.5)     		tx = 31011
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260871887207031 × 216)
    floor (0.260871887207031 × 65536)
    floor (17096.5)     		ty = 17096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31011 / 17096 ti = "16/31011/17096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31011/17096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31011 ÷ 216
    31011 ÷ 65536     		x = 0.473190307617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17096 ÷ 216
    17096 ÷ 65536     		y = 0.2608642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473190307617188 × 2 - 1) × π
    -0.053619384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16845027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2608642578125 × 2 - 1) × π
    0.478271484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.50253418169104
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16845027} λ = -0.16845027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50253418169104))-π/2
    2×atan(4.49306088776492)-π/2
    2×1.35180035392169-π/2
    2.70360070784337-1.57079632675     		φ = 1.13280438
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16845027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.651490°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13280438 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.904910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31011 KachelY 17096 -0.16845027 1.13280438 -9.651490 64.904910
    Oben rechts KachelX + 1 31012 KachelY 17096 -0.16835439 1.13280438 -9.645996 64.904910
    Unten links KachelX 31011 KachelY + 1 17097 -0.16845027 1.13276372 -9.651490 64.902580
    Unten rechts KachelX + 1 31012 KachelY + 1 17097 -0.16835439 1.13276372 -9.645996 64.902580
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13280438-1.13276372) × R
    4.06600000000257e-05 × 6371000     		dl = 259.044860000164m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13280438-1.13276372) × R
    4.06600000000257e-05 × 6371000     		dr = 259.044860000164m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16845027--0.16835439) × cos(1.13280438) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.424121818057005 × 6371000     		do = 259.075440260467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16845027--0.16835439) × cos(1.13276372) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.424158639611712 × 6371000     		du = 259.097932761656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13280438)-sin(1.13276372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424121818057005-0.424158639611712)×R²
    abs(-0.16835439--0.16845027)×3.68215547066342e-05×R²
    9.58800000000204e-05×3.68215547066342e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×3.68215547066342e-05×40589641000000     		ar = 67115.074444402m²