Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3101 / 3651
↖ ↑ ↗
← N 19.186678°
W 43.725586°		 ← 4 615.06 m → N 19.186678°
W 43.681641°		 →
↑
4 615.66 m
↓
↑
4 615.66 m
↓
N 19.145168°
W 43.725586°		 ← 4 616.22 m →
21 304 251 m²		 N 19.145168°
W 43.681641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3651 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37860107421875 y=0.44573974609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37860107421875 × 213)
    floor (0.37860107421875 × 8192)
    floor (3101.5)     		tx = 3101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.44573974609375 × 213)
    floor (0.44573974609375 × 8192)
    floor (3651.5)     		ty = 3651
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3101 / 3651 ti = "13/3101/3651"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3101/3651.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3101 ÷ 213
    3101 ÷ 8192     		x = 0.3785400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3651 ÷ 213
    3651 ÷ 8192     		y = 0.4456787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3785400390625 × 2 - 1) × π
    -0.242919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.76315544
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4456787109375 × 2 - 1) × π
    0.108642578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.3413107252948
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76315544} λ = -0.76315544}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.3413107252948))-π/2
    2×atan(1.40679029828641)-π/2
    2×0.952833512567007-π/2
    1.90566702513401-1.57079632675     		φ = 0.33487070
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76315544} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.725586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33487070 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.186678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3101 KachelY 3651 -0.76315544 0.33487070 -43.725586 19.186678
    Oben rechts KachelX + 1 3102 KachelY 3651 -0.76238845 0.33487070 -43.681641 19.186678
    Unten links KachelX 3101 KachelY + 1 3652 -0.76315544 0.33414622 -43.725586 19.145168
    Unten rechts KachelX + 1 3102 KachelY + 1 3652 -0.76238845 0.33414622 -43.681641 19.145168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33487070-0.33414622) × R
    0.000724480000000027 × 6371000     		dl = 4615.66208000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33487070-0.33414622) × R
    0.000724480000000027 × 6371000     		dr = 4615.66208000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76315544--0.76238845) × cos(0.33487070) × R
    0.000766990000000023 × 0.944452811591632 × 6371000     		do = 4615.06232656428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76315544--0.76238845) × cos(0.33414622) × R
    0.000766990000000023 × 0.944690661931055 × 6371000     		du = 4616.2245806519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33487070)-sin(0.33414622))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944452811591632-0.944690661931055)×R²
    abs(-0.76238845--0.76315544)×0.000237850339423251×R²
    0.000766990000000023×0.000237850339423251×6371000²
    0.000766990000000023×0.000237850339423251×40589641000000     		ar = 21304251.395451m²