Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3101 / 3211
↖ ↑ ↗
← S 70.931003°
E 92.548828°		 ← 3 192.90 m → S 70.931003°
E 92.636719°		 →
↑
3 190.60 m
↓
↑
3 190.60 m
↓
S 70.959697°
E 92.548828°		 ← 3 188.27 m →
10 179 872 m²		 S 70.959697°
E 92.636719°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.7572021484375 y=0.7840576171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.7572021484375 × 212)
    floor (0.7572021484375 × 4096)
    floor (3101.5)     		tx = 3101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7840576171875 × 212)
    floor (0.7840576171875 × 4096)
    floor (3211.5)     		ty = 3211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3101 / 3211 ti = "12/3101/3211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3101/3211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3101 ÷ 212
    3101 ÷ 4096     		x = 0.757080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3211 ÷ 212
    3211 ÷ 4096     		y = 0.783935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.757080078125 × 2 - 1) × π
    0.51416015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.61528177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783935546875 × 2 - 1) × π
    -0.56787109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.78401965626001
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.61528177} λ = 1.61528177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78401965626001))-π/2
    2×atan(0.167961640457565)-π/2
    2×0.16640838671381-π/2
    0.33281677342762-1.57079632675     		φ = -1.23797955
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.61528177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 92.548828°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23797955 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.931003°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3101 KachelY 3211 1.61528177 -1.23797955 92.548828 -70.931003
    Oben rechts KachelX + 1 3102 KachelY 3211 1.61681575 -1.23797955 92.636719 -70.931003
    Unten links KachelX 3101 KachelY + 1 3212 1.61528177 -1.23848035 92.548828 -70.959697
    Unten rechts KachelX + 1 3102 KachelY + 1 3212 1.61681575 -1.23848035 92.636719 -70.959697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23797955--1.23848035) × R
    0.000500799999999968 × 6371000     		dl = 3190.5967999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23797955--1.23848035) × R
    0.000500799999999968 × 6371000     		dr = 3190.5967999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.61528177-1.61681575) × cos(-1.23797955) × R
    0.00153398000000005 × 0.326706529475913 × 6371000     		do = 3192.89852816657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.61528177-1.61681575) × cos(-1.23848035) × R
    0.00153398000000005 × 0.32623316950853 × 6371000     		du = 3188.27238755782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23797955)-sin(-1.23848035))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.326706529475913-0.32623316950853)×R²
    abs(1.61681575-1.61528177)×0.000473359967383236×R²
    0.00153398000000005×0.000473359967383236×6371000²
    0.00153398000000005×0.000473359967383236×40589641000000     		ar = 10179871.9647401m²