Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31009 / 19729
↖ ↑ ↗
← N 58.028464°
W  9.662475°		 ← 323.41 m → N 58.028464°
W  9.656982°		 →
↑
323.46 m
↓
↑
323.46 m
↓
N 58.025555°
W  9.662475°		 ← 323.44 m →
104 613 m²		 N 58.025555°
W  9.656982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31009 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473167419433594 y=0.301048278808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473167419433594 × 216)
    floor (0.473167419433594 × 65536)
    floor (31009.5)     		tx = 31009
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301048278808594 × 216)
    floor (0.301048278808594 × 65536)
    floor (19729.5)     		ty = 19729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31009 / 19729 ti = "16/31009/19729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31009/19729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31009 ÷ 216
    31009 ÷ 65536     		x = 0.473159790039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19729 ÷ 216
    19729 ÷ 65536     		y = 0.301040649414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473159790039062 × 2 - 1) × π
    -0.053680419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16864201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301040649414062 × 2 - 1) × π
    0.397918701171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.25009846829182
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16864201} λ = -0.16864201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25009846829182))-π/2
    2×atan(3.49068666249249)-π/2
    2×1.2917920410381-π/2
    2.5835840820762-1.57079632675     		φ = 1.01278776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16864201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.662475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01278776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.028464°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31009 KachelY 19729 -0.16864201 1.01278776 -9.662475 58.028464
    Oben rechts KachelX + 1 31010 KachelY 19729 -0.16854614 1.01278776 -9.656982 58.028464
    Unten links KachelX 31009 KachelY + 1 19730 -0.16864201 1.01273699 -9.662475 58.025555
    Unten rechts KachelX + 1 31010 KachelY + 1 19730 -0.16854614 1.01273699 -9.656982 58.025555
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01278776-1.01273699) × R
    5.07699999998668e-05 × 6371000     		dl = 323.455669999151m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01278776-1.01273699) × R
    5.07699999998668e-05 × 6371000     		dr = 323.455669999151m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16864201--0.16854614) × cos(1.01278776) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.529497893784423 × 6371000     		do = 323.410837764278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16864201--0.16854614) × cos(1.01273699) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.52954096186426 × 6371000     		du = 323.437143220719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01278776)-sin(1.01273699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.529497893784423-0.52954096186426)×R²
    abs(-0.16854614--0.16864201)×4.30680798365612e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.30680798365612e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.30680798365612e-05×40589641000000     		ar = 104613.323561212m²