Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31005 / 19669
↖ ↑ ↗
← N 58.202556°
W  9.684448°		 ← 321.87 m → N 58.202556°
W  9.678955°		 →
↑
321.86 m
↓
↑
321.86 m
↓
N 58.199661°
W  9.684448°		 ← 321.89 m →
103 602 m²		 N 58.199661°
W  9.678955°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31005 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473106384277344 y=0.300132751464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473106384277344 × 216)
    floor (0.473106384277344 × 65536)
    floor (31005.5)     		tx = 31005
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.300132751464844 × 216)
    floor (0.300132751464844 × 65536)
    floor (19669.5)     		ty = 19669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31005 / 19669 ti = "16/31005/19669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31005/19669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31005 ÷ 216
    31005 ÷ 65536     		x = 0.473098754882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19669 ÷ 216
    19669 ÷ 65536     		y = 0.300125122070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473098754882812 × 2 - 1) × π
    -0.053802490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16902551
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.300125122070312 × 2 - 1) × π
    0.399749755859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.25585089624623
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16902551} λ = -0.16902551}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25585089624623))-π/2
    2×atan(3.51082445108828)-π/2
    2×1.29331127810756-π/2
    2.58662255621513-1.57079632675     		φ = 1.01582623
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16902551} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.684448°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01582623 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.202556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31005 KachelY 19669 -0.16902551 1.01582623 -9.684448 58.202556
    Oben rechts KachelX + 1 31006 KachelY 19669 -0.16892963 1.01582623 -9.678955 58.202556
    Unten links KachelX 31005 KachelY + 1 19670 -0.16902551 1.01577571 -9.684448 58.199661
    Unten rechts KachelX + 1 31006 KachelY + 1 19670 -0.16892963 1.01577571 -9.678955 58.199661
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01582623-1.01577571) × R
    5.05200000000539e-05 × 6371000     		dl = 321.862920000343m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01582623-1.01577571) × R
    5.05200000000539e-05 × 6371000     		dr = 321.862920000343m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16902551--0.16892963) × cos(1.01582623) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.526917885220526 × 6371000     		do = 321.868570025403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16902551--0.16892963) × cos(1.01577571) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.52696082231437 × 6371000     		du = 321.894798212726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01582623)-sin(1.01577571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.526917885220526-0.52696082231437)×R²
    abs(-0.16892963--0.16902551)×4.29370938449525e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.29370938449525e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.29370938449525e-05×40589641000000     		ar = 103601.77876722m²