Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 31004 / 6477
↖ ↑ ↗
← N 72.980838°
E160.620117°		 ← 357.56 m → N 72.980838°
E160.631104°		 →
↑
357.60 m
↓
↑
357.60 m
↓
N 72.977622°
E160.620117°		 ← 357.63 m →
127 878 m²		 N 72.977622°
E160.631104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31004 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6477 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946182250976562 y=0.197677612304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946182250976562 × 215)
    floor (0.946182250976562 × 32768)
    floor (31004.5)     		tx = 31004
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197677612304688 × 215)
    floor (0.197677612304688 × 32768)
    floor (6477.5)     		ty = 6477
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 31004 / 6477 ti = "15/31004/6477"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/31004/6477.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31004 ÷ 215
    31004 ÷ 32768     		x = 0.9461669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6477 ÷ 215
    6477 ÷ 32768     		y = 0.197662353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9461669921875 × 2 - 1) × π
    0.892333984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.80334989
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.197662353515625 × 2 - 1) × π
    0.60467529296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.89964345814359
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80334989} λ = 2.80334989}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89964345814359))-π/2
    2×atan(6.68351106597498)-π/2
    2×1.42227612465837-π/2
    2.84455224931673-1.57079632675     		φ = 1.27375592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80334989} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.620117°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27375592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.980838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31004 KachelY 6477 2.80334989 1.27375592 160.620117 72.980838
    Oben rechts KachelX + 1 31005 KachelY 6477 2.80354164 1.27375592 160.631104 72.980838
    Unten links KachelX 31004 KachelY + 1 6478 2.80334989 1.27369979 160.620117 72.977622
    Unten rechts KachelX + 1 31005 KachelY + 1 6478 2.80354164 1.27369979 160.631104 72.977622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27375592-1.27369979) × R
    5.61299999999321e-05 × 6371000     		dl = 357.604229999567m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27375592-1.27369979) × R
    5.61299999999321e-05 × 6371000     		dr = 357.604229999567m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80334989-2.80354164) × cos(1.27375592) × R
    0.000191750000000379 × 0.292691509149007 × 6371000     		do = 357.563435718868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80334989-2.80354164) × cos(1.27369979) × R
    0.000191750000000379 × 0.292745180582519 × 6371000     		du = 357.62900284865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27375592)-sin(1.27369979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.292691509149007-0.292745180582519)×R²
    abs(2.80354164-2.80334989)×5.36714335119814e-05×R²
    0.000191750000000379×5.36714335119814e-05×6371000²
    0.000191750000000379×5.36714335119814e-05×40589641000000     		ar = 127877.920681542m²