Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 31003 / 6428
↖ ↑ ↗
← N 73.137697°
E160.609131°		 ← 354.36 m → N 73.137697°
E160.620117°		 →
↑
354.36 m
↓
↑
354.36 m
↓
N 73.134510°
E160.609131°		 ← 354.43 m →
125 582 m²		 N 73.134510°
E160.620117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31003 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6428 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.946151733398438 y=0.196182250976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.946151733398438 × 215)
    floor (0.946151733398438 × 32768)
    floor (31003.5)     		tx = 31003
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196182250976562 × 215)
    floor (0.196182250976562 × 32768)
    floor (6428.5)     		ty = 6428
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 31003 / 6428 ti = "15/31003/6428"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/31003/6428.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31003 ÷ 215
    31003 ÷ 32768     		x = 0.946136474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6428 ÷ 215
    6428 ÷ 32768     		y = 0.1961669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.946136474609375 × 2 - 1) × π
    0.89227294921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.80315814
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1961669921875 × 2 - 1) × π
    0.607666015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.90903909046912
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.80315814} λ = 2.80315814}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90903909046912))-π/2
    2×atan(6.74660280786607)-π/2
    2×1.42364497562668-π/2
    2.84728995125336-1.57079632675     		φ = 1.27649362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.80315814} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 160.609131°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27649362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.137697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31003 KachelY 6428 2.80315814 1.27649362 160.609131 73.137697
    Oben rechts KachelX + 1 31004 KachelY 6428 2.80334989 1.27649362 160.620117 73.137697
    Unten links KachelX 31003 KachelY + 1 6429 2.80315814 1.27643800 160.609131 73.134510
    Unten rechts KachelX + 1 31004 KachelY + 1 6429 2.80334989 1.27643800 160.620117 73.134510
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27649362-1.27643800) × R
    5.5620000000145e-05 × 6371000     		dl = 354.355020000924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27649362-1.27643800) × R
    5.5620000000145e-05 × 6371000     		dr = 354.355020000924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.80315814-2.80334989) × cos(1.27649362) × R
    0.000191749999999935 × 0.290072607863795 × 6371000     		do = 354.36408311615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.80315814-2.80334989) × cos(1.27643800) × R
    0.000191749999999935 × 0.290125836013197 × 6371000     		du = 354.429108712664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27649362)-sin(1.27643800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290072607863795-0.290125836013197)×R²
    abs(2.80334989-2.80315814)×5.3228149401896e-05×R²
    0.000191749999999935×5.3228149401896e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.3228149401896e-05×40589641000000     		ar = 125582.212866195m²