Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31003 / 19783
↖ ↑ ↗
← N 57.871053°
W  9.695435°		 ← 324.87 m → N 57.871053°
W  9.689941°		 →
↑
324.86 m
↓
↑
324.86 m
↓
N 57.868132°
W  9.695435°		 ← 324.89 m →
105 540 m²		 N 57.868132°
W  9.689941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31003 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473075866699219 y=0.301872253417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473075866699219 × 216)
    floor (0.473075866699219 × 65536)
    floor (31003.5)     		tx = 31003
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301872253417969 × 216)
    floor (0.301872253417969 × 65536)
    floor (19783.5)     		ty = 19783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31003 / 19783 ti = "16/31003/19783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31003/19783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31003 ÷ 216
    31003 ÷ 65536     		x = 0.473068237304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19783 ÷ 216
    19783 ÷ 65536     		y = 0.301864624023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473068237304688 × 2 - 1) × π
    -0.053863525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16921726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301864624023438 × 2 - 1) × π
    0.396270751953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.24492128313286
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16921726} λ = -0.16921726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24492128313286))-π/2
    2×atan(3.4726614315491)-π/2
    2×1.29041837416005-π/2
    2.5808367483201-1.57079632675     		φ = 1.01004042
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16921726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.695435°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01004042 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.871053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31003 KachelY 19783 -0.16921726 1.01004042 -9.695435 57.871053
    Oben rechts KachelX + 1 31004 KachelY 19783 -0.16912138 1.01004042 -9.689941 57.871053
    Unten links KachelX 31003 KachelY + 1 19784 -0.16921726 1.00998943 -9.695435 57.868132
    Unten rechts KachelX + 1 31004 KachelY + 1 19784 -0.16912138 1.00998943 -9.689941 57.868132
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01004042-1.00998943) × R
    5.0989999999862e-05 × 6371000     		dl = 324.857289999121m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01004042-1.00998943) × R
    5.0989999999862e-05 × 6371000     		dr = 324.857289999121m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16921726--0.16912138) × cos(1.01004042) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.531826491996735 × 6371000     		do = 324.866999739483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16921726--0.16912138) × cos(1.00998943) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.531869672357242 × 6371000     		du = 324.893376526605m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01004042)-sin(1.00998943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.531826491996735-0.531869672357242)×R²
    abs(-0.16912138--0.16921726)×4.31803605072112e-05×R²
    9.58800000000204e-05×4.31803605072112e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×4.31803605072112e-05×40589641000000     		ar = 105539.697514091m²